2023届黑龙江省双鸭山市第三十一中学高考冲刺数学模拟试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ） A． B．2 C． D．3 4．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 6．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ） A．8 B．7 C．6 D．4 7．函数的图象可能是下列哪一个？（ ） A． B． C． D． 8．设全集U=R，集合，则（ ） A．{x|-1 <x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1} 9．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 10．设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A． B． C．7 D．2 11．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．5 12．已知全集，集合，则=（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点，为抛物线准线上一动点，满足，，当面积最大时，直线的方程为______. 14．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于_____. 15． “”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一） 16．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：. 18．（12分）已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值． 19．（12分）已知函数. （Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值； （Ⅱ）求函数的定义域和值域. 20．（12分）椭圆：的左、右焦点分别是，，离心率为，左、右顶点分别为，.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、（不与点、重合），直线与直线相交于点，求证：、、三点共线. 21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积. 22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，直线的参数方程(为参数)，若直线的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线 （1）求曲线的普通方程； （2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线的交点，求点的极径. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解. 【题目详解】 ,所以离心率, 又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有, 而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即, 所以,所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选:B 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 2、A 【答案解析】 利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【题目详解】 几何体的三视图的直观图如图所示， 则该几何体的体积为：． 故选：． 【答案点睛】 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键． 3、B 【答案解析】 过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果. 【题目详解】 过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点， 由抛物线解析式知：，准线方程为. ，，，， 由抛物线定义知：，，， . 由抛物线性质得：，解得：， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 4、D 【答案解析】 根据集合的基本运算即可求解. 【题目详解】 解：，，， 则 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 5、C 【答案解析】 作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【题目详解】 如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为. 故选：C 【答案点睛】 本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 6、A 【答案解析】 则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【题目详解】 最底层正方体的棱长为8， 则从下往上第二层正方体的棱长为：， 从下往上第三层正方体的棱长为：， 从下往上第四层正方体的棱长为：， 从下往上第五层正方体的棱长为：， 从下往上第六层正方体的棱长为：， 从下往上第七层正方体的棱长为：， 从下往上第八层正方体的棱长为：， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【答案点睛】 本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题. 7、A 【答案解析】 由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果. 【题目详解】 由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A. 【答案点睛】 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 8、C 【答案解析】 解一元二次不等式求得集合，由此求得 【题目详解】 由，解得或. 因为或，所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 9、A 【答案解析】 根据题意，，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围. 【题目详解】 已知与的图象有一个横坐标为的交点， 则， ， ，， ， 若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 则， 所以当时，， 在有且仅有5个零点， ， . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 10、B 【答案解析】 根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果． 【题目详解】 因为，所以，所以， 所以， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题． 11、D 【答案解析】 根据双曲线定义可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出离心率. 【题目详解】 依题意得，，，因此该双曲线的离心率. 【答案点睛】 本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力. 12、D 【答案解析】 先计算集合，再计算，最后计算． 【题目详解】 解： ， ， ． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据均值不等式得到，，根据等号成立条件得到直线的倾斜角为，计算得到直线方程. 【题目详解】 由椭圆，可知，，，， ， ，， （当且仅当，等号成立）， ，，，， 直线的倾斜角为，直线的方程为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 14、2 【答案解析】 由题意知：，，，.由∠NRF=60°，可得为等边三角形，MF⊥PQ，可得F为HR的中点，即求. 【题目详解】 不妨设点P在第一象限，如图所示，连接MF，QF. ∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点 ∴，. ∵M，N分别为PQ，PF的中点， ∴， ∵PQ垂直l于点Q， ∴PQ//OR， ∵，∠NRF=60°， ∴为等边三角形， ∴MF⊥PQ， 易知四边形和四边形都是平行四边形， ∴F为HR的中点， ∴， 故答案为：2. 【答案点睛】 本题主要考查抛物线的定义，属于基础题. 15、充分不必要 【答案解析】 由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系. 【题目详解】 由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要 【答案点睛】 本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用. 16、 【答案解析】 某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比. 【题目详解】 设抽取的样本容量为x，由已知，，解得. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【答案解析】 （Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间. （Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明. 【题目详解】 （Ⅰ