2023年高考数学第二轮复习三角函数教学案.docx

2023年高考第二轮专题复习〔教学案〕：三角函数 第1课时 三角函数与三角变换 考纲指要： 主要考察三角函数的图象与性质，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明等三角变换的根本问题。 考点扫描： 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质； 2．函数y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象； 3．两角和与差的三角函数，二倍角公式。 考题先知： 例1.不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值 分析：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会 解法一 sin220°+cos280°+sin220°cos80° = (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80° =1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°) =1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°) +sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220° =1－cos40°－(1－cos40°)= 解法二 设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，那么 x+y=1+1－sin60°=， x－y=－cos40°+cos160°+sin100° =－2sin100°sin60°+sin100°=0 ∴x=y=， 即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°= 点评：题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高 例2．某市环保部门对该市每天环境污染情况进行调查研究后，得出一天中环境污染指数与时间x〔小时〕的函数关系为，其中a为与气象有关的参数，且。假设函数的最大值为当天的综合污染指数，并记作。〔1〕求函数的表达式； 〔2〕市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问该市目前的综合污染指数是否超标？ 解：〔1〕设，那么原函数可化为，当时， ，，由于的图象为线段或折线，故的最大值在端点或折点处取得，又当的图象为折线时，在折点处的t值为，而 ，所以的最大值为 =，而, ,由方程组得， 从而 〔2〕由〔1〕知：在上是增函数，故，因此该市目前的综合污染指数没有超标。 复习智略： 例3.设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值 分析：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等 解 由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得 f(a)＝ ∵f(a)=, ∴1－4a=a=［2,+∞ 或　－－2a－1=，解得a=－1， 此时，y=2(cosx+)2+， 当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5 点评：此题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力 学生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 检测评估： 1 方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－)，那么tan的值是( ) A B －2 C D 或－2 2．给出函数封闭的定义：假设对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f(x0)，那么称函数y=f(x)在D上封闭。假设定义域D1=〔0，1〕，那么以下函数：f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.；其中在D1上封闭的有〔 〕个。 A．1 B．2 C．3 D．4 3 函数y=－x·cosx的局部图像是( ) 4 函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( ) A 非奇非偶函数 B 仅有最小值的奇函数 C 仅有最大值的偶函数 D 既有最大值又有最小值的偶函数 5、函数的最大值为M，最小值为N，那么〔 〕 A、； B、； C、； D、 6．函数y=sin〔2x+〕的图象通过如下变换： 得到y=sinx的图象。 7 函数f(x)=()｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________ 8 设ω＞0，假设函数f(x)=2sinωx在［－，］上单调递增，那么ω的取值范围是_________ 9．函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx，那么函数f(x)的最小正周期是 。 当x = 时，f(x)取得最小值 ； 10．＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________ 为锐角，且，函数，数列{an}的首项. ⑴ 求函数的表达式； ⑵ 求证：； ⑶ 求证： ，，函数 〔1〕求函数的最值与最小正周期；〔2〕求使不等式 成立的 的取值范围。 点拨与全解： 1 解析 ∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0 tanα+tanβ=3a+1＞0, 又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),那么∈(－,0), 又tan(α+β)=, 整理得2tan2=0 解得tan=－2 答案 B 2．解：〔1〕∵f1()=0Ï(0,1)，∴f(x)在D1上不封闭； ∵f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是减函数，∴0＜f2(1)＜f2(x)＜f2(0)=1， ∴f2(x)Î(0,1)Þf2(x)在D1上封闭； ∵f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函数，∴0=f3(0)＜f3(x)＜f3(1)=1， ∴f3(x)Î(0,1)Þf3(x)在D1上封闭； ∵f4(x)=cosx在(0,1)上是减函数，∴cos1=f4(1)＜f4(x)＜f4(0)=1， ∴f4(x)Î(cos1,1)Ì(0,1)Þf4(x)在D1上封闭； 综上所述，选C。 3 解 函数y=－xcosx是奇函数，图像不可能是A和C，又当x∈(0, )时，y＜0 答案 D 4 解 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+］－1 答案 D 5．解：，其中是奇函数，所以M+N=2，应选D。 =sin〔2x+〕 7 解 在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－,0］及［,π］ 而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－,0］及［,π］为f(x)的递减区间 8 解 由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－,］，由题设得 9．解：f(x)=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)，∴f(x)的最小正周期T=π 且当2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2 10．解 ∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜ π＜α+β＜, ∴ ∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］ =sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) 11．解：⑴ 又∵为锐角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴ 12、解： (1)∴的最大值是,的最小值是, 的最小正周期是 (2) 由解知 又∵ ∴的取值范围是 第2课时 解三角形 考纲指要： 〔1〕通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 〔2〕能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 考点扫描： 1．直角三角形中各元素间的关系：〔1〕三边之间的关系；〔2〕锐角之间的关系；〔3〕边角之间的关系。 2．斜三角形中各元素间的关系：〔1〕三角形内角和；〔2〕正弦定理；〔3〕余弦定理； 3．三角形的面积公式。 考题先知： 例1。在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米； (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ 分析： 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题 解 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米) 在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米) 在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90° (2)∠DAC=90°－60°=30° sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB= sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30° 在△ACD中，据正弦定理得， ∴ 答 此时船距岛A为千米 点评： 主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系 例2△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB() (1)试求函数f(x)的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域 分析： 此题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式 在求定义域时要注意||的范围 解 (1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120° ∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1 又4x2－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］ (2)设x1＜x2， ∴f(x2)－f(x1)==， 假设x1，x2∈()，那么4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0 即f(x2)＜f(x1)，假设x1，x2∈(，1］，那么4x12－3＞0 4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0 即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是减函数 (3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2 故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞ 点评：学生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题 复习智略： 例3．△ABC中满足()2＝·＋·＋·，a、b、c分别是△ABC的三边． 〔Ⅰ〕试判断