2023届陕西省宁强县天津高级中学高考数学四模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ） A． B． C． D． 3．若函数在时取得极值，则（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 5．已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（ ） A．（1，＋∞） B．（1，2） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞） 6．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 7．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 8．已知纯虚数满足，其中为虚数单位，则实数等于（ ） A． B．1 C． D．2 9．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ） A．乙的数据分析素养优于甲 B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数据分析最差 10．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，若F到直线的距离为，则E的离心率为( ) A． B． C． D． 11．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（ ） A．1 B． C．2 D．4 12．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） A．20 B．27 C．54 D．64 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．展开式中的系数为________． 14．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____． 15．在中，角，，所对的边分别边，且，设角的角平分线交于点，则的值最小时，___. 16．甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 18．（12分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 19．（12分）已知函数（为常数） （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）若为增函数，求实数的取值范围. 20．（12分）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且. （1）求证：平面. （2）求二面角的余弦值. 21．（12分）已知关于的不等式解集为（）. （1）求正数的值； （2）设，且，求证：. 22．（10分）如图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程. 【题目详解】 设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为, 故选：B 【答案点睛】 本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 2、B 【答案解析】 由，则输出为300，即可得出判断框的答案 【题目详解】 由，则输出的值为300，，故判断框中应填？ 故选：． 【答案点睛】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 3、D 【答案解析】 对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果. 【题目详解】 因为，所以， 又函数在时取得极值， 所以，解得. 故选D 【答案点睛】 本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 4、A 【答案解析】 本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可． 【题目详解】 结合题意，绘制图像 要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A． 【答案点睛】 本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等． 5、B 【答案解析】 ， ， ∴． 故选． 6、A 【答案解析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【题目详解】 ∵x∈（0，1）， ∴a＝lnx＜0， b＝（）lnx＞（）0＝1， 0＜c＝elnx＜e0＝1， ∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7、A 【答案解析】 根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果. 【题目详解】 由题可知： 由，所以 所以 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题. 8、B 【答案解析】 先根据复数的除法表示出，然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可. 【题目详解】 因为，所以， 又因为是纯虚数，所以，所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数为纯虚数，则有. 9、C 【答案解析】 根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项. 【题目详解】 根据雷达图得到如下数据： 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析 甲 4 5 4 5 4 5 乙 3 4 3 3 5 4 由数据可知选C. 【答案点睛】 本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识. 10、A 【答案解析】 由已知可得到直线的倾斜角为，有，再利用即可解决. 【题目详解】 由F到直线的距离为，得直线的倾斜角为，所以， 即，解得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于的方程或不等式，本题是一道容易题. 11、C 【答案解析】 设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p． 【题目详解】 由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）， ∴y1+y2＝p， 又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2, 故选C． 【答案点睛】 本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题． 12、B 【答案解析】 设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。 【题目详解】 设大正方体的边长为，则小正方体的边长为， 设落在小正方形内的米粒数大约为， 则，解得： 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、30 【答案解析】 先将问题转化为二项式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令的指数分别等于2，4，求出特定项的系数． 【题目详解】 由题可得：展开式中的系数等于二项式展开式中的指数为2和4时的系数之和， 由于二项式的通项公式为， 令，得展开式的的系数为， 令，得展开式的的系数为， 所以展开式中的系数， 故答案为30. 【答案点睛】 本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题． 14、 【答案解析】 利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可. 【题目详解】 解：复数为纯虚数, 解得． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 15、 【答案解析】 根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出. 【题目详解】 因为，则， 由余弦定理得： ， 当且仅当时取等号， 又因为，， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力. 16、 【答案解析】 出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案. 【题目详解】 甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员， 出场的两名运动员编号相同的事件数为3， 出现的基本事件总数， 则出场的两名运动员编号相同的概率为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或． 【答案解析】 试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示； （2）第一步由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在. 试题解析：解：(1)设直线，，，． ∴由得， ∴，． ∴直线的斜率，即． 即直线的斜率与的斜率的乘积为定值． （2）四边形能为平行四边形． ∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是， 由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为． ∴由得，即 将点的坐标代入直线的方程得，因此． 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即 ∴．解得，． ∵，，， ∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用 【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果， （2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，