2023年高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析2.docx

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 A组 一、选择题 1．设 a，b为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且la，m，有如下的两个命题：①假设 a∥b，那么l∥m；②假设l⊥m，那么 a⊥b．那么( )． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的选项是( )． (第2题) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1角为60° 3．关于直线m，n与平面 a，b，有以下四个命题： ①m∥a，n∥b 且 a∥b，那么m∥n； ②m⊥a，n⊥b 且 a⊥b，那么m⊥n； ③m⊥a，n∥b 且 a∥b，那么m⊥n； ④m∥a，n⊥b 且 a⊥b，那么m∥n． 其中真命题的序号是( )． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 4．给出以下四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③假设直线l1，l2与同一平面所成的角相等，那么l1，l2互相平行 ④假设直线l1，l2是异面直线，那么与l1，l2都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 5．以下命题中正确的个数是( )． ①假设直线l上有无数个点不在平面 a 内，那么l∥a ②假设直线l与平面 a 平行，那么l与平面 a 内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④假设直线l与平面 a 平行，那么l与平面 a 内的任意一条直线都没有公共点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6． 两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )． A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个 7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )． A．90° B．60° C．45° D．30° 8．以下说法中不正确的选项是( )． A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．同一平面的两条垂线一定共面 C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D．过一条直线有且只有一个平面与平面垂直 9．给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( )． A．4 B．3 C．2 D．1 10．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，那么直线b与c所成的角的范围为( 　 )． A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[30°，120°] 二、填空题 11．三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，那么这个三棱锥的体积为 ． 12．P是△ABC 所在平面 a 外一点，过P作PO⊥平面 a，垂足是O，连PA，PB，PC． (1)假设PA＝PB＝PC，那么O为△ABC 的 心； (2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，那么O是△ABC 的 心； (3)假设点P到三边AB，BC，CA的距离相等，那么O是△ABC 的 心； (4)假设PA＝PB＝PC，∠C＝90º，那么O是AB边的 点； J (第13题) (5)假设PA＝PB＝PC，AB＝AC，那么点O在△ABC的 线上． 13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 ． 14．直线l与平面 a 所成角为30°，l∩a＝A，直线m∈a，那么m与l所成角的取值范围 是 ． 15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，那么d1＋d2＋d3＋d4的值为 ． 16．直二面角 a－l－b 的棱上有一点A，在平面 a，b 内各有一条射线AB，AC与l成45°，ABa，ACb，那么∠BAC＝ ． 三、解答题 17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC⊥AD； (第17题) (2)假设点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值； (3)设二面角A－BC－D的大小为 q，猜想 q 为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明) 18． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB． (1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值. (第18题) 19x．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝． (1)求四棱锥S—ABCD的体积； (2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA，CD 相交于点 E，那么直线 SE 是 所求二面角的棱.) (第19题) 20x．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.) (第20题) 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 参考答案 A组 一、选择题 1．D 解析：命题②有反例，如图中平面 a∩平面 b＝直线n， la，mb， 且l∥n，m⊥n，那么m⊥l，显然平面 a 不垂直平面 b， (第1题) 故②是假命题；命题①显然也是假命题， 2．D 解析：异面直线AD与CB1角为45°． 3．D 解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定． 4．D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，应选择答案D． 5．B 解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，那么l与 a 无公共点，l与平面 a 内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B． (第5题) 6．B 解析：设平面 a 过l1，且 l2∥a，那么 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 b ，b 与 a 的交线l3∥l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的. 7．C 解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，那么△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°． 8．D 解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了． 9．B 解析：因为①②④正确，应选B． 10．A 解析：异面直线，所成的角为60°，直线⊥，过空间任一点 P，作直线 a’∥a， b’∥b， c’∥c. 假设a’，b’，c’ 共面那么 b’ 与 c’ 成 30° 角，否那么 ’ 与 ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b与c所成角的范围为[30°，90°] ． 二、填空题 11．． 解析：设三条侧棱长为 a，b，c． 那么 ab＝S1，bc＝S2，ca＝S3 三式相乘： ∴ a2 b2 c2＝S1S2S3， ∴ abc＝2． ∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V＝abc·＝． 12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分． 解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心； (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点； (5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°． 解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°． 14．[30°，90°]． 解析：直线l与平面 a 所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在 a 内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的的最大值为90°． 15．． 解析：作等积变换：×(d1＋d2＋d3＋d4)＝·h，而h＝． 16．60°或120°． 解析：不妨固定AB，那么AC有两种可能． 三、解答题 17．证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO． ∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形， ∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O， ∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD， ∴BC⊥AD． (第17题) 解：(2)由(1)知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝q，那么过点D作DE⊥AD，垂足为E． ∵BC⊥平面ADO，且BC平面ABC， ∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO， ∴DE⊥平面ABC． ∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3． 又DO＝BD＝2， 在Rt△DEO中，sinq＝＝， 故二面角A－BC－D的正弦值为． (3)当 q＝90°时，四面体ABCD的体积最大． 18．证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC． 在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面， ∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC． (2)解：如图，过E在平面中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－中，∵面ABCD⊥面，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝， (第18题) 又OE＝1，所以，tanEFO＝． 19x．解：(1)直角梯形ABCD的面积是M底面＝＝，