2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案函数的单调性高中数学.docx

2．5函数单调性 ——函数的单调性是函数性质中的重点，高考命题的热点，是高中数学中最活泼的局部 一、明确复习目标 1、理解函数单调性的概念； 2、掌握函数的单调性的判断和证明的方法； 3、会用函数单调性比拟大小、求值域或最值； 4、会判定或求复合函数的单调区间。 二．建构知识网络 1、函数单调性定义：如果对于任意的 x1、x2∈〔a,b)，当x1＜x2时，都有f〔x1〕＜f〔x2〕〔或f〔x1〕＞f〔x2〕〕，那么就说f〔x〕在这个区间(a,b)上是增函数〔或减函数〕,(a,b)叫这个函数的单调递增〔或递减〕区间，说f〔x〕在这一区间上具有〔严格的〕单调性。 2、函数单调性指的是某个区间上的性质，是定义域中的一局部；要说函数是增函数那么必须在整个定义域内递增；函数在每个区间上递增也未必是增函数，如正切函数，y= -1/x等； 3、复合函数单调性：设y=f〔u〕，u=g〔x〕，x∈［a，b］，u∈［m，n］都是单调函数，那么y=f［g〔x〕］在［a，b］上也是单调函数——同增异减，即 〔1〕假设y=f〔u〕是［m，n］上的增函数，那么y=f［g〔x〕］与u=g〔x〕的增减性相同； 〔2〕假设y=f〔u〕是［m，n］上的减函数，那么y=f［g〔x〕］的增减性与u=g〔x〕的增减性相反. 4、判断函数单调性的方法： ①定义法，即比拟法；②图象法；③复合函数单调性判断法那么；④导数； 5、实际上，用导数求解或判断一般函数单调性是很便捷的方法，定义法是根本方法，常用来判定抽象函数或不易求导的函数的单调性。 6、一些常用的结论： ①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③单调函数必有反函数，且单调性一致； ④在公共定义域内: 增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数； 增函数减函数是增函数； 减函数增函数是减函数 　⑤函数是奇函数，在和上递增；在和上是递减，进而可确定型函数的的单调区间。 三、双基题目练练手 1、以下函数中，在区间〔0，2〕上为增函数的是 〔 〕 A.y=log2(x2-1 ) B.y= C.y=x2－4x+5 D.y= 2、〔2023上海〕假设函数f(x)=, 那么该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A单调递减无最小值 B 单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D 单调递增有最大值 3、 “〞是“函数在区间上为增函数〞的〔 〕 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、假设y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，那么a的取值范围是〔 　〕 A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞) 5、〔2023湖南〕假设f (x)= -x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，那么a的值范围是 6、有以下几个命题： ①函数y=2x2+x+1在〔0，＋∞〕上不是增函数； ②函数y=在〔－∞，－1〕∪〔－1，＋∞〕上是减函数；③函数y=的单调区间是［－2，+∞〕； ④f〔x〕在R上是增函数，假设a+b＞0，那么有f〔a〕+f〔b〕＞f〔－a〕+f〔－b〕.其中正确命题的序号是_________. 简答精讲:1-4、BAAB；5、；6、④ 4、当0<a<1时，y=logau递减，u=2-ax递减，复合后递增，当a>1时，增减复合递减，但必须在[0，1]上2-ax>0,只须2-a>0,故1<a<2选B． 四、经典例题做一做 【例1】 利用单调性的定义证明函数在〔-∞，+∞〕上是减函数。 证明：对任意 ，， 即，是减函数。 证法二: 对任意 当时，有 当时，有 ，即，是减函数。 证法三: 对任意 当时，有，又， ∴即，在〔-∞，0]上是减函数。同理，在[0，+∞〕上是减函数 ∴在〔-∞，+∞〕是减函数。 特别提醒：要熟练掌握用定义法证明单调性的各种情形和具体手法，此题和下题都是为了强化这一点。 【例2】证明函数y=x+，〔a>0)的单调区间上的单调性. 解：定义域：{x|x≠0}，任取x1、x2∈〔0，+∞〕且x1＜x2，那么f〔x2〕－f〔x1〕=x2+－x1－=〔x2－x1〕+=〔x2－x1〕〔1－〕， 〔要确定此式的正负只要确定1－的正负即可.将〔0，+∞〕分为〔0，]与[，+∞〕〔这是此题的关键〕 〔1〕当x1、x2∈〔0，]时，1－＜0， ∴f〔x2〕－f〔x1〕＜0，为减函数. 〔2〕当x1、x2∈[，+∞〕时，1－＞0， ∴f〔x2〕－f〔x1〕＞0，为增函数. 由于f(x)是奇函数，所以在 [－，0〕上递减；在〔－∞，－]上递增. 【例3】假设试确定的单调区间和单调性 解：设那么 当递增，，增函数； 当递增，为增函数； 当递减，为减函数； 当递增，为增函数； 解： ， ， 令 ，得或， 令 ，或 ∴单调增区间为；单调减区间为 方法提炼：按复合函数“同增异减〞确定单调性，比拟繁琐。此题用导数法求单调区间好。 【例4】是R上的偶函数，在〔-∞.0]上递增，解不等式〔1〕 〔2〕 解：〔1〕 在〔-∞.0]上递增，是偶函数，那么在[0，+∞)上递减， ∴原式 〔2〕原式 【研究.欣赏】 设函数f(x)= (a>0),求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+¥)上是单调函数 解： a³1时， ，f(x)递减； 0<a<1时，存在两点x1=0,x2=2a/(1-a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性 五．提炼总结以为师 1、函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的，讨论函数的单调性必须在某区间内进行. 2、单调性定义中的x1、x2必须是：同一区间上；任意两个值； x1＜x2，三者缺一不可. 3.解函数单调性的问题时，通常有定义法、图象法、复合函数判断法，导数法，应注意合理选择。 同步练习 2．5函数单调性 【选择题】 1、以下函数中，在区间上是增函数的是 〔 〕 A. B. C. D. 2、为上的减函数，，那么 〔 〕 A. B. C. D. 3、函数y=loga〔x2＋2x－3〕，当x=2时，y＞0，那么此函数的单调递减区间是 A.〔－∞，－3〕 B.〔1，＋∞〕 C.〔－∞，－1〕 D.〔－1，＋∞〕 4、〔2023天津卷〕假设函数在区间内单调递增，那么a的取值范围是 〔B 〕 A． B． C． D． 【填空题】 5、函数y=的递减区间是 6、〔2023上海卷〕假设函数f(x)=a在[0,+∞]上为增函数,那么实数a、b的取值范围是 . 简答提示 1-4、BCAB；5、(-¥,-3)]、6、数形结合,图象是x=b处为顶点的v字形,当a>0且b≤0时,在[0,+∞]上为增函数； 【解答题】 7、讨论函数f〔x〕=〔a≠〕在〔－2，+∞〕上的单调性. 解：设x1、x2为区间〔－2，+∞〕上的任意两个值，且x1＜x2，那么 f〔x1〕－f〔x2〕= = =. ∵x1∈〔－2，+∞〕，x2∈〔－2，+∞〕且x1＜x2， ∴x2－x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0. ∴当1－2a＞0，即a＜时，f〔x1〕＞f〔x2〕，该函数为减函数； 当1－2a＜0，即a＞时，f〔x1〕＜f〔x2〕，该函数为增函数. 8、讨论函数f〔x〕=〔a＞0〕在x∈〔－1，1〕上的单调性. 解：设－1＜x1＜x2＜1， 那么f〔x1〕－f〔x2〕=－ ==. ∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2+1＞0，〔x12－1〕〔x22－1〕＞0.又a＞0，∴f〔x1〕－f〔x2〕＞0，函数f〔x〕在〔－1，1〕上为减函数. 9、函数在上是增函数，求的取值范围 分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：①对任意的总有；②当时，恒成立 解：∵函数在上是增函数， ∴对任意的有， 即，得 ，即， ∵，∴ ， ∵，∴要使恒成立，只要； 又∵函数在上是增函数，∴， 即，综上的取值范围为 另解：〔用导数求解〕 令，函数在上是增函数， ∴在上是增函数，， ∴，且在上恒成立，得 10、是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a,b∈[-1,1],a+b≠0，都有成立， 〔1〕假设a>b试比拟的大小； 〔2〕解不等式； 〔3〕假设-1≤c≤2,证明存在公共的定义域。 解：〔1〕a>b那么a-b>0,又是定义在[-1，1]上的奇函数 〔2〕 证明〔3〕由 此不等式组有解 ① 或　　　　　　　② 由①得：,此时有公共定义域 由②得：0<c<1，此时有公共定义域 法二：-1≤c≤2时，作差比拟知，必有公共的定义域。…… 【探索题】(2023上海)函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数 〔1〕如果函数＝＋〔＞0〕的值域为6，＋∞，求的值； 〔2〕研究函数＝＋〔常数＞0〕在定义域内的单调性，并说明理由； 〔3〕对函数＝＋和＝＋〔常数＞0〕作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广后的函数的单调性〔只须写出结论，不必证明〕，并求函数＝＋〔是正整数〕在区间[，2]上的最大值和最小值〔可利用你的研究结论〕 [解]〔1〕函数y=x+(x>0)的最小值是2，那么2=6, ∴b=log29 (2) 设0<x1<x2,y2－y1= 当<x1<x2时, y2>y1, 函数y=在[,+∞)上是增函数； 当0<x1<x2<时y2<y1, 函数y=在(0,]上是减函数 又y=是偶函数，于是， 该函数在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数； (3) 可以把函数推广为y=(常数a>0),其中n是正整数 当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数； 当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数； F(x)=+= 因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数 所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n； 当x=1时F(x)取得最小值2n+1