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2023
兴义
地区
重点
高考
一轮
复习
教学
多面体
高中数学
9.6棱柱、棱锥和球
一、明确复习目标
1.理解棱柱、棱锥的有关概念,掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算;
2.会画棱柱、棱锥的直观图,能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系,并能进行有关角和距离的计算.
3.了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的外表积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球内接、外切几何问题的解法.
二.建构知识网络
一、棱柱
(1) 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
(2) 棱柱的性质:——侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质
①侧棱都相等,侧面都是平行四边形;
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.
(3)棱柱的分类:
①按底面多边形的边数分类:三棱柱,四棱柱,…,n棱柱.
②按侧棱与底面的位置关系分类:
(4)特殊的四棱柱:
四棱柱→ 平行六面体→ 直平行六面体
→长方体→ 正四棱柱 → 正方体.请在“→〞上方添上相应的条件.
(5)长方体对角线定理:
长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.
(6)棱柱的体积公式:
,是棱柱的底面积,是棱柱的高.
二、棱锥
1.定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥.
如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥.
2.正棱锥的性质——侧棱、侧面的性质和一些RtΔ
(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形.
(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.
3.一般棱锥的性质——定理:
如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,那么截面和底面相似,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和棱锥高的平方比.
4.棱锥的体积: V=Sh,其S是棱锥的底面积,h是高.
三、球
1.定义:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体.
球面是到定点的距离小于或等于定长的点的集合.
过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.
地球上的径度是个二面角,纬度是个线面角。
2.性质:平面截球所得的截面是圆.
〔1〕球心和球面圆心的连线垂直于截面;
〔2〕球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系:
3.S球=4πR2;V球=πR3.
三、双基题目练练手
1.如图,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,那么C1在底面ABC上的射影H必在 ( )
A.直线AB上; B.直线BC上;
C.直线AC上; D.△ABC内部
A1
A
B
B1
C
C1
2.如图,正三棱锥P—ABC顶点P在底面上的射影在ΔABC内部,M是侧面PAB上的点,且M到点P的距离等于M到底面的距离,那么点M的轨迹是( )
A.椭圆的一段 B.双曲线的一段 C.一段抛物线 D.直线段
M
C
B
A
P
3. (2023全国卷II)将半径都为1的4个铅球完全装入形状为正四面体的容品里,这个正四面体的高最小值为 〔 〕
A. B.
C. D.
4.三条弦PA、PB、PC两两垂直的,且,,那么过点P、A、B、C的球面O的半径R= ;
5.斜三棱柱的一个侧面的面积为S,这个侧面与它所对的棱的距离为d,那么这个三棱柱的体积为_________.
6.在三棱锥S—ABC中,∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°,那么侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_____________
.
A
C
S
B
7.地球的半径为R,北纬450纬线上有2点A、B间的球面距离为大圆周长的,那么A、B两地间纬线长为
◆答案提示:1-3. AAC; 4.
5. dS; 6 arccos; 7.
1.提示:BC1在上底面的射影垂直于AC,必为AB.
法二:AC⊥平面ABC1,从而平面ABC1⊥平面ABC……
4.先确定点P、A、B、C所在的球面及其直径.
5. 补上一个相同的棱柱成为平行六面体;或割成三个相同的三棱锥.
四、经典例题做一做
【例1】如图,设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°,又∠BAC=60°,且SA⊥BC.
A
B
C
D
S
O
〔1〕求证:S—ABC为正三棱锥;
〔2〕SA=a,求S—ABC的全面积.
证明〔1〕:正棱锥的定义中,底面是正多边形;顶点在底面上的射影是底面的中心,两个条件缺一不可.作三棱锥S—ABC的高SO,O为垂足,连结AO并延长交BC于D.
A
B
C
D
S
O
E
F
因为SA⊥BC,所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等,从而O为△ABC的外心,OD为BC的垂直平分线,所以AB=AC.又∠BAC=60°,故△ABC为正三角形,且O为其中心.所以S-ABC为正三棱锥.
解〔2〕:在Rt△SAO中,由于SA=a,∠SAO=600,
所以SO=a,AO=a.因O为重心,
所以AD=AO=a,BC=2BD=2ADcot600=a,
OD=AD=a.
在Rt△SOD中,SD2=SO2+OD2=〔a〕2+〔a〕2=,那么SD=a.于是,〔SS-ABC〕全=·〔a〕2sin60°+3··a·a=a2.
◆思悟探讨
〔1〕求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式
S正棱锥底=cosα·S正棱锥侧〔α为侧面与底面所成的二面角〕.
〔2〕注意到高SO=a,底面边长BC=a是相等的,因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质,反之亦真.
〔3〕正三棱锥中,假设侧棱与底面边长相等,那么可称为正四面体,因此正四面体是特殊的正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体.
【例2】 三棱锥A—BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球半径.
解法一:易知内切球球心O到各面的距离相等.
设E、F为CD、AB的中点,那么O在EF上且O为EF的中点.
在△ABE中,AB=6,AE=BE=4,OH=.
解法二:设球心O到各面的距离为R.
那么4×S×R=VA—BCD,
∵S=×6×4=12,VA—BCD=2VC—ABE=6.
∴4××12R=6.∴R=.
评述:正多面体与球的切接问题常借助体积求解.
【例3】.〔2023邯郸一模〕,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面成600的角,AB⊥AC,BC1⊥A1C1,AB=4,AC=3.
(1).求证:截面ABC1⊥底面ABC;
(2).求三棱柱ABC-A1B1C1的体积的最小值;
(3).求三棱柱ABC-A1B1C1体积最小时,截面A1BC1与底面ABC所成二面角的大小.
B1
A1
C1
C
B
A
证(1):在三棱柱ABC-A1B1C1 中, AC ∥A1C1,
∵BC1⊥A1C1, ∴BC1⊥AC,又 AB⊥AC,
∴AC⊥面ABC1, ∴面ABC1⊥面ABC.
解〔2〕:作C1H⊥面ABC于H, 那么H在AB上,连CH,那么∠HCC1=600 当H与A重合时CH最短,棱柱的高C1H=CHtan600=CH最短
三棱柱ABC-A1B1C1 的体积V最小.此时,
∠ACC1=600, C1H=AC1=3
V=
解〔3〕设面ABC交面A1BC1于直线 m,那么 m为二面角的棱.
∵AC∥A1C1 , ∴AC∥面A1BC1, AC∥m ,
∴ AB⊥m, 又AC1⊥面ABC,
由三垂线定理知C1B⊥m,
∴∠ABC1为所求二面角的平面角.在RtΔABC1中, tan∠ABC1=
【例4】如图,三个12×12 cm的正方形,都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图〔1〕〕,把6片粘在一个正六边形的外面〔如图〔2〕〕,然后折成多面体〔如图〔3〕〕,求此多面体的体积.
E
D
C
解法一: 补成一个正方体,如图甲,
V=V正方体=×123=864 cm3.
甲 乙
解法二:补成一个三棱锥,如图乙,
V=V大三棱锥-3V小三棱锥=864 cm3.
解法三:如图〔3〕7设C是所在棱的中点,截面CDE把几何体截成两局部,沿DE把上局部翻转过来可拼成正方体的下一半.
◆思考讨论
补形的方法可将不规那么的几何体转化成规那么的几何体,这是求多面体体积的常用方法.
五.提炼总结以为师
1.棱柱、棱锥的概念和性质是研究解决问题的依据,要能正确利用这些知识进行图中点、线、面的位置关系的分析和计算;
2.三棱锥的等〔体〕积变换是解决点到面的距离的常见方法之一; “割〞“补〞是解决立体几何,尤其是体积问题的常用技巧.
正棱锥的四个“特征〞直角三角形,是将“空间问题〞转化为“平面问题〞的桥梁.
3.球的概念和性质以及面积、体积是解决有关问题的重要依据;它的轴截面是解决问题的重要“场所〞,球半径、截面圆半径、圆心距都在这个图形内,它把空间问题转化为平面问题.
4.要正确地区别球面上两点间的直线距离与球面距离.搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念.
同步练习 9.6棱柱、棱锥和球
【选择题】
1.P是长方体AC1上底面A1C1内任一点,设AP与三条棱AA1、AB、AD所成的角为α、β、γ,那么cos2α+cos2β+cos2γ的值是 〔 〕
A.1 B.2 C. D.不确定
2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的外表积是 〔 〕
A.20π B.25π C.50π D.200π
3.各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,那么这个球的外表积是〔 〕
A. B. C. D.
【填空题】
4.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面,它们将棱锥的侧面分成三局部的面积的比〔自上而下〕为__________.
5.〔2023年北京〕地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm,该地球仪的半径是_________cm,外表积是_________cm2.
6.球面上的三点A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为13,那么球心到平面ABC的距离为 .
◆答案提示: 1-3.ACC; 4. 1∶3∶5;
5. 4 192π; 6.距离为12.
【解答题】
7. 〔2023山东〕如图,平面平行于三棱锥的底面ABC,等边△所在的平面与底面ABC垂直,且∠ACB=90°,设
〔1〕求证直线是异面直线与的公垂线;
〔2〕求点A到平面VBC的距离;
〔3〕求二面角的大小.
A
B
C
A1
V
B1
C1
证明〔Ⅰ〕∵平面∥平面,
∵∴
又∵平面⊥平面,平面∩平面,∴⊥平面,
,
又,.
为与的公垂线.
解〔Ⅱ〕:过A作于D,
∵△为正三角形,∴D为的中点.
∵BC⊥平面 ∴,
又,∴AD⊥平面,
∴线段AD的长即为点A到平面的距离.
在正△中,.
∴点A到平面的距离为.
解法2:取AC中点O连结,那么⊥平面,且=.
由〔Ⅰ〕知,设A到平面的距离为x,
,
即,
解得.即A到平面的距离为.
那么
∴到平面的距离为.
(III)过点作于,连,由三重线定理知
是二