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2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案多面体和球高中数学.docx
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2023 兴义 地区 重点 高考 一轮 复习 教学 多面体 高中数学
9.6棱柱、棱锥和球 一、明确复习目标 1.理解棱柱、棱锥的有关概念,掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算; 2.会画棱柱、棱锥的直观图,能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系,并能进行有关角和距离的计算. 3.了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的外表积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球内接、外切几何问题的解法. 二.建构知识网络 一、棱柱 (1) 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱. (2) 棱柱的性质:——侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质 ①侧棱都相等,侧面都是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. (3)棱柱的分类: ①按底面多边形的边数分类:三棱柱,四棱柱,…,n棱柱. ②按侧棱与底面的位置关系分类: (4)特殊的四棱柱: 四棱柱→ 平行六面体→ 直平行六面体 →长方体→ 正四棱柱 → 正方体.请在“→〞上方添上相应的条件. (5)长方体对角线定理: 长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和. (6)棱柱的体积公式: ,是棱柱的底面积,是棱柱的高. 二、棱锥 1.定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥. 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥. 2.正棱锥的性质——侧棱、侧面的性质和一些RtΔ (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形. (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形. 3.一般棱锥的性质——定理: 如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,那么截面和底面相似,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和棱锥高的平方比. 4.棱锥的体积: V=Sh,其S是棱锥的底面积,h是高. 三、球 1.定义:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体. 球面是到定点的距离小于或等于定长的点的集合. 过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离. 地球上的径度是个二面角,纬度是个线面角。 2.性质:平面截球所得的截面是圆. 〔1〕球心和球面圆心的连线垂直于截面; 〔2〕球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系: 3.S球=4πR2;V球=πR3. 三、双基题目练练手 1.如图,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,那么C1在底面ABC上的射影H必在 ( ) A.直线AB上; B.直线BC上; C.直线AC上; D.△ABC内部 A1 A B B1 C C1 2.如图,正三棱锥P—ABC顶点P在底面上的射影在ΔABC内部,M是侧面PAB上的点,且M到点P的距离等于M到底面的距离,那么点M的轨迹是( ) A.椭圆的一段 B.双曲线的一段 C.一段抛物线 D.直线段 M C B A P 3. (2023全国卷II)将半径都为1的4个铅球完全装入形状为正四面体的容品里,这个正四面体的高最小值为 〔 〕 A. B. C. D. 4.三条弦PA、PB、PC两两垂直的,且,,那么过点P、A、B、C的球面O的半径R= ; 5.斜三棱柱的一个侧面的面积为S,这个侧面与它所对的棱的距离为d,那么这个三棱柱的体积为_________. 6.在三棱锥S—ABC中,∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°,那么侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_____________ . A C S B 7.地球的半径为R,北纬450纬线上有2点A、B间的球面距离为大圆周长的,那么A、B两地间纬线长为 ◆答案提示:1-3. AAC; 4. 5. dS; 6 arccos; 7. 1.提示:BC1在上底面的射影垂直于AC,必为AB. 法二:AC⊥平面ABC1,从而平面ABC1⊥平面ABC…… 4.先确定点P、A、B、C所在的球面及其直径. 5. 补上一个相同的棱柱成为平行六面体;或割成三个相同的三棱锥. 四、经典例题做一做 【例1】如图,设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°,又∠BAC=60°,且SA⊥BC. A B C D S O 〔1〕求证:S—ABC为正三棱锥; 〔2〕SA=a,求S—ABC的全面积. 证明〔1〕:正棱锥的定义中,底面是正多边形;顶点在底面上的射影是底面的中心,两个条件缺一不可.作三棱锥S—ABC的高SO,O为垂足,连结AO并延长交BC于D. A B C D S O E F 因为SA⊥BC,所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等,从而O为△ABC的外心,OD为BC的垂直平分线,所以AB=AC.又∠BAC=60°,故△ABC为正三角形,且O为其中心.所以S-ABC为正三棱锥. 解〔2〕:在Rt△SAO中,由于SA=a,∠SAO=600, 所以SO=a,AO=a.因O为重心, 所以AD=AO=a,BC=2BD=2ADcot600=a, OD=AD=a. 在Rt△SOD中,SD2=SO2+OD2=〔a〕2+〔a〕2=,那么SD=a.于是,〔SS-ABC〕全=·〔a〕2sin60°+3··a·a=a2. ◆思悟探讨 〔1〕求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式 S正棱锥底=cosα·S正棱锥侧〔α为侧面与底面所成的二面角〕. 〔2〕注意到高SO=a,底面边长BC=a是相等的,因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质,反之亦真. 〔3〕正三棱锥中,假设侧棱与底面边长相等,那么可称为正四面体,因此正四面体是特殊的正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体. 【例2】 三棱锥A—BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球半径. 解法一:易知内切球球心O到各面的距离相等. 设E、F为CD、AB的中点,那么O在EF上且O为EF的中点. 在△ABE中,AB=6,AE=BE=4,OH=. 解法二:设球心O到各面的距离为R. 那么4×S×R=VA—BCD, ∵S=×6×4=12,VA—BCD=2VC—ABE=6. ∴4××12R=6.∴R=. 评述:正多面体与球的切接问题常借助体积求解. 【例3】.〔2023邯郸一模〕,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面成600的角,AB⊥AC,BC1⊥A1C1,AB=4,AC=3. (1).求证:截面ABC1⊥底面ABC; (2).求三棱柱ABC-A1B1C1的体积的最小值; (3).求三棱柱ABC-A1B1C1体积最小时,截面A1BC1与底面ABC所成二面角的大小. B1 A1 C1 C B A 证(1):在三棱柱ABC-A1B1C1 中, AC ∥A1C1, ∵BC1⊥A1C1, ∴BC1⊥AC,又 AB⊥AC, ∴AC⊥面ABC1, ∴面ABC1⊥面ABC. 解〔2〕:作C1H⊥面ABC于H, 那么H在AB上,连CH,那么∠HCC1=600 当H与A重合时CH最短,棱柱的高C1H=CHtan600=CH最短 三棱柱ABC-A1B1C1 的体积V最小.此时, ∠ACC1=600, C1H=AC1=3 V= 解〔3〕设面ABC交面A1BC1于直线 m,那么 m为二面角的棱. ∵AC∥A1C1 , ∴AC∥面A1BC1, AC∥m , ∴ AB⊥m, 又AC1⊥面ABC, 由三垂线定理知C1B⊥m, ∴∠ABC1为所求二面角的平面角.在RtΔABC1中, tan∠ABC1= 【例4】如图,三个12×12 cm的正方形,都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图〔1〕〕,把6片粘在一个正六边形的外面〔如图〔2〕〕,然后折成多面体〔如图〔3〕〕,求此多面体的体积. E D C 解法一: 补成一个正方体,如图甲, V=V正方体=×123=864 cm3. 甲 乙 解法二:补成一个三棱锥,如图乙, V=V大三棱锥-3V小三棱锥=864 cm3. 解法三:如图〔3〕7设C是所在棱的中点,截面CDE把几何体截成两局部,沿DE把上局部翻转过来可拼成正方体的下一半. ◆思考讨论 补形的方法可将不规那么的几何体转化成规那么的几何体,这是求多面体体积的常用方法. 五.提炼总结以为师 1.棱柱、棱锥的概念和性质是研究解决问题的依据,要能正确利用这些知识进行图中点、线、面的位置关系的分析和计算; 2.三棱锥的等〔体〕积变换是解决点到面的距离的常见方法之一; “割〞“补〞是解决立体几何,尤其是体积问题的常用技巧. 正棱锥的四个“特征〞直角三角形,是将“空间问题〞转化为“平面问题〞的桥梁. 3.球的概念和性质以及面积、体积是解决有关问题的重要依据;它的轴截面是解决问题的重要“场所〞,球半径、截面圆半径、圆心距都在这个图形内,它把空间问题转化为平面问题. 4.要正确地区别球面上两点间的直线距离与球面距离.搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念. 同步练习 9.6棱柱、棱锥和球 【选择题】 1.P是长方体AC1上底面A1C1内任一点,设AP与三条棱AA1、AB、AD所成的角为α、β、γ,那么cos2α+cos2β+cos2γ的值是 〔 〕 A.1 B.2 C. D.不确定 2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的外表积是 〔 〕 A.20π B.25π C.50π D.200π 3.各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,那么这个球的外表积是〔 〕 A. B. C. D. 【填空题】 4.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面,它们将棱锥的侧面分成三局部的面积的比〔自上而下〕为__________. 5.〔2023年北京〕地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm,该地球仪的半径是_________cm,外表积是_________cm2. 6.球面上的三点A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为13,那么球心到平面ABC的距离为 . ◆答案提示: 1-3.ACC; 4. 1∶3∶5; 5. 4 192π; 6.距离为12. 【解答题】 7. 〔2023山东〕如图,平面平行于三棱锥的底面ABC,等边△所在的平面与底面ABC垂直,且∠ACB=90°,设 〔1〕求证直线是异面直线与的公垂线; 〔2〕求点A到平面VBC的距离; 〔3〕求二面角的大小. A B C A1 V B1 C1 证明〔Ⅰ〕∵平面∥平面, ∵∴ 又∵平面⊥平面,平面∩平面,∴⊥平面, , 又,. 为与的公垂线. 解〔Ⅱ〕:过A作于D, ∵△为正三角形,∴D为的中点. ∵BC⊥平面 ∴, 又,∴AD⊥平面, ∴线段AD的长即为点A到平面的距离. 在正△中,. ∴点A到平面的距离为. 解法2:取AC中点O连结,那么⊥平面,且=. 由〔Ⅰ〕知,设A到平面的距离为x, , 即, 解得.即A到平面的距离为. 那么 ∴到平面的距离为. (III)过点作于,连,由三重线定理知 是二

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