2023届湖南省邵阳市育英高级中学高考数学三模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（ ） A． B．-2 C． D．2 2．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则＝（ ） A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6} 4．设，则“ ”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设集合（为实数集），，，则（ ） A． B． C． D． 6．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ） A．或 B． C． D． 7．设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为 A．或11 B．或11 C． D． 8．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ） A． B． C． D． 9．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．1 10．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A． B． C． D． 11．复数的模为（ ）． A． B．1 C．2 D． 12．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知实数满足，则的最小值是______________. 14．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________. 15．高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ． 16．已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数，若，则实数的值为_____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图. （1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率； （2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为，选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率， （3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 18．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）. （1）请用角表示清洁棒的长； （2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 19．（12分）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且. （1）讨论的单调性 （2）求实数和a的值 （3）证明 20．（12分）已知矩阵，. 求矩阵； 求矩阵的特征值. 21．（12分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 22．（10分）已知函数 （I）若讨论的单调性； （Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设，用表示出，求出的值即可得出答案. 【题目详解】 设 由 ， ， . 故选：A 【答案点睛】 本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题. 2、D 【答案解析】 由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案. 【题目详解】 由题，得， 因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以函数的最小正周期，则， 所以， 当时，， 所以是函数的一条对称轴， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性. 3、B 【答案解析】 按补集、交集定义，即可求解. 【题目详解】 ＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}， 所以＝{1，5，6}. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题. 4、C 【答案解析】 根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【题目详解】 ∵a，b∈（1，+∞）， ∴a＞b⇒logab＜1， logab＜1⇒a＞b， ∴a＞b是logab＜1的充分必要条件， 故选C． 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 5、A 【答案解析】 根据集合交集与补集运算,即可求得. 【题目详解】 集合,, 所以 所以 故选:A 【答案点睛】 本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 6、C 【答案解析】 设公差为，则由题意可得，解得，可得.令 ，可得 当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的. 【题目详解】 解：等差数列中，已知，且，设公差为， 则，解得 ， . 令 ，可得，故当时，，当时，， 故数列前项和中最小的是. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 7、A 【答案解析】 圆的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线的距离，结合弦长公式得，解得或，故选A． 8、B 【答案解析】 根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解. 【题目详解】 从八卦中任取两卦基本事件的总数种， 这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种， 分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮）， 所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9、C 【答案解析】 先将，化简转化为，再得到下结论. 【题目详解】 已知复数， 所以， 所以的虚部为-1. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10、B 【答案解析】 计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：设球半径为，则，解得. 故求体积为：，圆锥的体积：，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 11、D 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【题目详解】 解：， 复数的模为． 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 12、A 【答案解析】 考虑既属于又属于的集合，即得. 【题目详解】 . 故选： 【答案点睛】 本题考查集合的交运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解. 【题目详解】 画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示. 由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线系， 平移直线， 易知当直线经过点时，直线的纵截距最小，目标函数取得最小值，且. 故答案为：-8 【答案点睛】 本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力. 14、 【答案解析】 如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的得解. 【题目详解】 如图，连接， 因为E，F，G分别为AB，BC，的中点， 所以，平面， 则平面.因为， 所以同理得平面，又. 所以平面平面EFG. 因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 在中，， 故当时.线段的长度最小，最小值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15、20 【答案解析】 根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，则1至14号为第一组，15至28号为第二组，29号至42号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6-1=20号,故答案为20. 16、 【答案解析】 先推导出函数的周期为，可得出，代值计算，即可求出实数的值. 【题目详解】 由于函数是定义在上的奇函数，则， 又该函数的图象关于直线对称，则， 所以，，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）0.4；（2）；（3）应选择方案，理由见解析 【答案解析】 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率； （2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率； （3）设骑手每日完成外卖业务量为件，分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 【题目详解】 （1）设事件为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”. 根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为， ∵， ∴估计为0.4. （2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”， 设事件，为“甲、乙、丙、丁四