2023届山西省阳泉市重点中学高考数学一模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以，为直径的圆的方程是 A． B． C． D． 2．的展开式中的系数为（ ） A．5 B．10 C．20 D．30 3．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( ) A． B． C． D． 4．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 5．复数满足，则（ ） A． B． C． D． 6．函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（ ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 8．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ） A． B． C． D． 9．已知满足，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列判断错误的是（ ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 11．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 12．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，则________.(填“>”或“=”或“<”). 14．已知数列的前项和为，且满足，则______ 15．设，满足条件，则的最大值为__________. 16．已知集合，.若，则实数a的值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）当时，求证：. 18．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长. 19．（12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）若，求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于、两点，、分别为线段、的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围. 20．（12分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由. 21．（12分）等比数列中，． (Ⅰ)求的通项公式； (Ⅱ)记为的前项和．若，求． 22．（10分）从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛物线C上，且（F为抛物线的焦点）. （1）求抛物线C的方程； （2）①求证：四边形是平行四边形. ②四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程. 【题目详解】 设圆的标准方程为， 由题意得圆心为，的中点， 根据中点坐标公式可得，， 又，所以圆的标准方程为： ，化简整理得， 所以本题答案为A. 【答案点睛】 本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题. 2、C 【答案解析】 由知，展开式中项有两项，一项是中的项，另一项是与中含x的项乘积构成. 【题目详解】 由已知，，因为展开式的通项为，所以 展开式中的系数为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题. 3、C 【答案解析】 根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果. 【题目详解】 根据题意，，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力. 4、B 【答案解析】 求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【题目详解】 当时，，， ，又，所以至少小于7，此时， 令，得，解得或，结合图象，故. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 5、C 【答案解析】 利用复数模与除法运算即可得到结果. 【题目详解】 解: ， 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题. 6、B 【答案解析】 由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式. 【题目详解】 解：由图象知，，则， 图中的点应对应正弦曲线中的点， 所以，解得， 故函数表达式为． 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题. 7、C 【答案解析】 求出集合，计算出和，即可得出结论. 【题目详解】 ，，，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 8、D 【答案解析】 由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值． 【题目详解】 解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即， 对应区域为边长为的正方形，其面积为， 若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有， 其面积；则有，解得 故选：． 【答案点睛】 本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 9、A 【答案解析】 利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【题目详解】 ，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 10、D 【答案解析】 先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【题目详解】 可得 对于A，的最小正周期为,故A正确； 对于B，由，可得，故B正确； 对于C，正弦函数对称轴可得： 解得：， 当，，故C正确； 对于D，正弦函数对称中心的横坐标为： 解得： 若图象关于点对称，则 解得：，故D错误； 故选：D. 【答案点睛】 本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11、C 【答案解析】 由题意和交集的运算直接求出. 【题目详解】 ∵ 集合， ∴. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆. 12、C 【答案解析】 设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求. 【题目详解】 设,则,所以, 依题意可得, 设,则, 当时,,则单调递减；当时,,则单调递增, 所以,且, 有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C 【答案点睛】 本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 注意到，故只需比较与1的大小即可. 【题目详解】 由已知，，故有.又由， 故有. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 14、 【答案解析】 对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值. 【题目详解】 解：，可得时，， 时，，又， 两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得． 【答案点睛】 本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题. 15、 【答案解析】 作出可行域，由得，平移直线，数形结合可求的最大值. 【题目详解】 作出可行域如图所示 由得，则是直线在轴上的截距. 平移直线，当直线经过可行域内的点时，最小，此时最大. 解方程组，得，. . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查简单的线性规划，属于基础题. 16、9 【答案解析】 根据集合交集的定义即得. 【题目详解】 集合，，， ，则a的值是9. 故答案为：9 【答案点睛】 本题考查集合的交集，是基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析（2）见解析 【答案解析】 （1）根据的导函数进行分类讨论单调性 （2）欲证，只需证，构造函数，证明，这时需研究的单调性，求其最大值即可 【题目详解】 解：（1）的定义域为， ， ① 当时，由得，由，得， 所以在上单调递增，在单调递减； ②当时，由得，由，得，或， 所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增； ③当时，，所以在上单调递增； ④当时，由，得，由，得，或， 所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增. （2）当时，欲证，只需证， 令，，则， 因存在，使得成立，即有，使得成立. 当变化时，，的变化如下： 0 单调递增 单调递减 所以. 因为，所以，所以. 即， 所以当时，成立. 【答案点睛】 考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题. 18、（1）（2） 【答案解析】 （1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可； （2）设，，由，即可求出，则计算可得； 【题目详解】 解：（1）圆的参数方程（为参数）可化为， ∴，即圆的极坐标方程为. （2）设，由，解得. 设，由，解得. ∵，∴. 【答案点睛】 本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）由椭圆的离心率求出、的值，由此可求得椭圆的方程； （2）设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出，可得出， 【题目详解】 （1）由题意得，，. 又因为，，所以椭圆的方程为； （2）由，得. 设、，所以，， 依题意，，易知，四边形为平行四边形，所以. 因为，， 所以.