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2023
九年级
数学
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北师大
学科组研讨汇编
第三章达标检测卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1.以下命题为真命题的是( )
A.两点确定一个圆
B.度数相等的弧相等
C.垂直于弦的直径平分弦
D.相等的圆周角所对的弧相等,所对的弦也相等
2.(衡水中学2023中考模拟〕⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为6,那么点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O内
C.点P在⊙O上 D.无法确定
3.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BOC=120°,那么∠BAC的度数是( )
A.70° B.60° C.50° D.30°
4.如图,AB,AC为⊙O的切线,B和C是切点,延长OB到D,使BD=OB,连接AD.如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于( )
A.70° B.64° C.62° D.51°
2.(实验中学2023中考模拟〕如图,==,OB,OC分别交AC,BD于点E,F,那么以下结论不一定正确的选项是( )
A.AC=BD B.OE⊥AC,OF⊥BD
C.△OEF为等腰三角形 D.△OEF为等边三角形
6.如图,在直角坐标系中,一个圆经过坐标原点O,交坐标轴于点E,F,OE=8,OF=6,那么圆的直径长为( )
A.12 B.10 C.14 D.15
7.如图,△PQR是⊙O的内接正三角形,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,BC∥QR,那么∠AOQ等于( )
A.60° B.65° C.72° D.75°
8.秋千拉绳长3 m,静止时踩板离地面0.5 m,某小朋友荡秋千时,秋千在最高处踩板离地面2 m(左右对称),如下图,那么该秋千所荡过的圆弧的长为( )
A.π m B.2π m C.π m D.π m
9.如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于点C和点D.假设△PCD的周长为⊙O半径的3倍,那么tan ∠APB等于( )
A. B. C. D.
2.(北师大附中2023中考模拟〕如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4,那么a的值是( )
A.4 B.3+ C.3 D.3+
二、填空题(每题3分,共24分)
11.如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB,假设AB=10,CD=8,那么圆心O到弦CD的距离为________.
12.(衡水中学2023中考模拟〕如图,EB,EC是⊙O的两条切线,B,C是切点,A,D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,那么∠A=________.
13.如图,DB切⊙O于点A,∠AOM=66°,那么∠DAM=________.
14.如图,AB,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,BE是⊙O的直径,假设AC=3,那么DE=________.
12.(实验中学2023中考模拟〕如图,水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52 cm,装入油后,油深CD为16 cm,那么油面宽度AB=________.
16.如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交于点E,以点O为圆心,OC为半径作交OB于点D.假设OA=2,那么阴影局部的面积为________.
17.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的⊙O和AB,BC均相切,那么⊙O的半径为________.
18.如图,在⊙O中,C,D分别是OA,OB的中点,MC⊥AB,ND⊥AB,M,N在⊙O上.以下结论:①MC=ND;②==;③四边形MCDN是正方形;④MN=AB.其中正确的结论有________(填序号).
三、解答题(19题8分,20,21每题10分,22,23每题12分,24题14分,共66分)
19.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于A,OP交⊙O于C,连接BC,假设∠P=30°,求∠B的度数.
20.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:AB=AC.
(2)假设⊙O的半径为4,∠BAC=60°,求DE的长.
21.如图,点P在y轴上,⊙P交x轴于A,B两点,连接BP并延长交⊙P于点C,过点C的直线y=2x+b交x轴于点D,且⊙P的半径为,AB=4.
(1)求点B,P,C的坐标.
(2)求证:CD是⊙P的切线.
22.(衡水中学2023中考模拟〕如图,CB和CD切⊙O于B,D两点,A为圆周上一点,且∠1:∠2:∠3=1:2:3,BC=3,求∠AOD所对扇形的面积S.
2.(华中师大附中2023中考模拟〕如图,一拱形公路桥,圆弧形桥拱的水面跨度AB=80 m,桥拱到水面的最大高度为20 m.
(1)求桥拱所在圆的半径.
(2)现有一艘宽60 m,顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥,这艘轮船能顺利通过吗?请说明理由.
24.如图,在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
(1)求证:PA是⊙O的切线.
(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,假设AG·AB=12,求AC的长.
(3)在满足(2)的条件下,假设AF∶FD=1∶2,GF=1,求⊙O的半径及
sin∠ACE的值.
答案
一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.B
7.D 8.B 9.A 10.B
二、11.3 【点拨】如图,连接OC,设AB⊥CD于E.∵AB为⊙O的直径,AB=10,∴OC=5.∵CD⊥AB,CD=8,∴CE=4,∴OE===3.
12.(衡水中学2023中考模拟〕99° 【点拨】易知EB=EC.又∠E=46°,所以∠ECB=67°.从而∠BCD=180°-67°-32°=81°.在⊙O中,∠BCD与∠A互补,所以∠A=180°-81°=99°.
13.147° 【点拨】因为DB是⊙O的切线,所以OA⊥DB.由∠AOM=66°,得∠OAM=×(180°-66°)=57°.所以∠DAM=90°+57°=147°.
14.3 【点拨】∵BE是⊙O的直径,
∴∠BDE=90°.
∴∠BDC+∠CDE=90°.
又∵AB⊥CD,
∴∠ACD+∠CAB=90°.
∵∠CAB=∠BDC,
∴∠ACD=∠CDE.
∴=.
∴-=-.
∴=.∴DE=AC=3.
12.(实验中学2023中考模拟〕48 cm
16.+ 【点拨】连接OE.∵点C是OA的中点,
∴OC=OA=1.∵OE=OA=2,
∴OC=OE.∵CE⊥OA,∴∠OEC=30°.
∴∠COE=60°.在Rt△OCE中,CE==,
∴S△OCE=OC·CE=.∵∠AOB=90°,∴∠BOE=∠AOB-∠COE=30°.∴S扇形BOE==.又S扇形COD==.因此S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD=+-=+.
17.
18.①②④ 【点拨】连接OM,ON,易证Rt△OMC≌Rt△OND,可得MC=ND,故①正确.在Rt△MOC中,CO=MO,可得∠CMO=30°,所以∠MOC=60°.易得∠MOC=∠NOD=∠MON=60°,所以==,故②正确.易得CD=AB=OA=OM,∵MC<OM,∴MC<CD.∴四边形MCDN不是正方形,故③错误.易得MN=CD=AB,故④正确.
三、19.解:∵PA切⊙O于A,AB是⊙O的直径,∠P=30°,
∴∠AOP=60°.
∴∠B=∠AOP=30°.
20.(1)证明:如图,连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵DC=BD,∴AB=AC.
(2)解:由(1)知AB=AC,
∵∠BAC=60°,∠ADB=90°,
∴△ABC是等边三角形,∠BAD=30°.
在Rt△BAD中,∠BAD=30°,AB=8,
∴BD=4,即DC=4.
又∵DE⊥AC,
∴DE=DC·sin C=4·sin 60°=4×=2.
21.(1)解:如图,连接CA.
∵OP⊥AB,
∴OB=OA=2.
∵OP2+OB2=BP2,
∴OP2=5-4=1,即OP=1.
∵BC是⊙P的直径,
∴∠CAB=90°.
∵CP=BP,OB=OA,
∴AC=2OP=2.
∴B(2,0),P(0,1),C(-2,2).
(2)证明:∵直线y=2x+b过C点,
∴b=6.
∴y=2x+6.
∵当y=0时,x=-3,
∴D(-3,0).
∴AD=1.
∵OB=AC=2,AD=OP=1,
∠CAD=∠POB=90°,
∴△DAC≌△POB.
∴∠DCA=∠ABC.
∵∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠DCA+∠ACB=90°,即CD⊥BC.
∴CD是⊙P的切线.
22.(衡水中学2023中考模拟〕解:∵CD为⊙O的切线,
∴∠ODC=90°,即OD⊥CD.
∵∠1:∠2:∠3=1:2:3,
∴∠1=15°,∠2=30°,∠3=45°.
连接OB.∵CB为⊙O的切线,
∴OB⊥BC,BC=CD.
∴∠CBD=∠3=45°,
∴∠OBD=45°.
又∠1+∠2=45°,
∴∠BOD=90°,即OD⊥OB.
∴OD∥BC,CD∥OB.
∴四边形OBCD为正方形.
∵BC=3,
∴OB=OD=3.
∵∠1=15°,
∴∠AOB=30°,
∴∠AOD=120°.
∴S=×π×32=3π.
2.(华中师大附中2023中考模拟〕解:(1)如图,设点E是桥拱所在圆的圆心.
过点E作EF⊥AB于点F,
延长EF交于点C,连接AE,
那么CF=20 m.由垂径定理知,
F是AB的中点,
∴AF=FB=AB=40 m.
设半径是r m,由勾股定理,
得AE2=AF2+EF2=AF2+(CE-CF)2,
即r2=402+(r-20)2.
解得r=50.
∴桥拱所在圆的半径为50 m.
(2)这艘轮船能顺利通过.理由:
当宽60 m的轮船刚好可通过拱桥时,如图,MN为轮船顶部的位置.
连接EM,设EC与MN的交点为D,
那么DE⊥MN,∴DM=30 m,∴DE===40(m).
∵EF=EC-CF=50-20=30(m),
∴DF=DE-EF=40-30=10(m).
∵10 m>9 m,
∴这艘轮船能顺利通过.
24.(1)证明:如图,连接CD.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°.∴∠CAD+∠ADC=90°.
又∵∠PAC=∠PBA,
∠ADC=∠PBA,
∴∠PAC=∠ADC.
∴∠CAD+∠PAC=90°.
∴PA⊥DA.而AD是⊙O的直径,
∴PA是⊙O的切线.
(2)解:由(1)知,PA⊥AD,
又∵CF⊥AD,∴CF∥PA.
∴∠GCA=∠PAC.
又∵∠PAC=∠PBA,
∴∠GCA=∠PBA.
而∠CAG=∠BAC,
∴△CAG∽△BAC.
∴=,即AC2=AG·AB.
∵AG·AB=12,∴AC2=12.
∴AC=2.
(3)解:设AF=x,
∵AF∶FD=1∶2,
∴FD=2x.
∴AD=AF+FD=3x.
易知△ACF∽△ADC,
∴=,即AC2=AF·AD.
∴3x2=12,
解得x=2或x=-2(舍去).
∴AF=2,AD=6.
∴⊙O的半径为3.
在Rt△AFG中,AF=2,GF=1,
根据勾股定理得AG===,由(2)知AG·AB=12,
∴AB==.连接BD,如下图.
∵