2023届河南省许昌市示范中学高考数学四模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．设，，是非零向量.若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ） A． B． C．4 D．5 5．若θ是第二象限角且sinθ =，则= A． B． C． D． 6．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 9．函数在上单调递减的充要条件是（ ） A． B． C． D． 10．在边长为1的等边三角形中，点E是中点，点F是中点，则（ ） A． B． C． D． 11．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（ ） A． B． C．6 D． 12．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．三棱柱中， ，侧棱底面，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为_____． 14．如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______． 15．设函数，当时，记最大值为，则的最小值为______. 16．展开式中的系数为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a的取值范围； （2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数） 18．（12分）如图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值． 19．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值． 21．（12分）设不等式的解集为M，. （1）证明：； （2）比较与的大小，并说明理由. 22．（10分）已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）的图象与两坐标轴的交点分别为，若三角形的面积大于，求参数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可. 【题目详解】 结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故 可以转换为 对应于恒成立,即 即对恒成立 即对恒成立 令,则上递增,在上递减, 所以 令,在上递减 所以.故,故选B. 【答案点睛】 本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案. 2、D 【答案解析】 试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D. 考点：平面向量数量积. 【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 3、A 【答案解析】 根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案. 【题目详解】 解:因为函数为偶函数， 所以函数的图象关于对称， 因为对任意， ，都有， 所以函数在上为减函数， 则， 解得：. 即实数的取值范围是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 4、D 【答案解析】 根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长． 【题目详解】 解：复数z＝a+bi，a、b∈R； ∵2z， ∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝， 即， 解得a＝3，b＝4， ∴z＝3+4i， ∴|z|． 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 5、B 【答案解析】 由θ是第二象限角且sinθ =知：，． 所以． 6、A 【答案解析】 由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决. 【题目详解】 由已知可得，，所以，从而双曲线方程为 ，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时， 此时，所以， ，所以； 当轴时，，所以，又为锐角三 角形，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题. 7、A 【答案解析】 根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解. 【题目详解】 解：设点到平面的距离为，因为是中点， 所以到平面的距离为， 三棱锥的体积，解得， 作平面，垂足为的外心，所以，且， 所以在中，，此为球的半径， . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题． 8、B 【答案解析】 求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论. 【题目详解】 由，得，则集合， 所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题. 9、C 【答案解析】 先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得. 【题目详解】 依题意，， 令，则，故在上恒成立； 结合图象可知，，解得 故. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法: (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间. 10、C 【答案解析】 根据平面向量基本定理，用来表示，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知：点E是中点，点F是中点 ， 所以 又 所以 则 故选：C 【答案点睛】 本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题. 11、D 【答案解析】 先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解. 【题目详解】 由题意，则，，得，由定义知， 故选:D. 【答案点睛】 此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 12、C 【答案解析】 首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合. 【题目详解】 设公差为d，由题知， ， 解得，， 所以数列为， 故. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 分析题意可知，三棱柱为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心， 设棱柱的底面边长为，高为，则三棱柱的侧面积为，球的半径表示为，再由重要不等式即可得球表面积的最小值 【题目详解】 如下图， ∵三棱柱为正三棱柱 ∴设， ∴三棱柱的侧面积为 ∴ 又外接球半径 ∴外接球表面积. 故答案为： 【答案点睛】 考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题 14、 【答案解析】 设，，在中利用正弦定理得出关于的函数，从而可得的最小值． 【题目详解】 解：设，，则，，∴， 在中，由正弦定理可得， 即，∴， ∴当即时，取得最小值． 故答案为． 【答案点睛】 本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题． 15、 【答案解析】 易知，设，，利用绝对值不等式的性质即可得解． 【题目详解】 ， 设，， 令， 当时，，所以单调递减 令， 当时，，所以单调递增 所以当时， ， ， 则 则， 即 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题． 16、30 【答案解析】 先将问题转化为二项式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令的指数分别等于2，4，求出特定项的系数． 【题目详解】 由题可得：展开式中的系数等于二项式展开式中的指数为2和4时的系数之和， 由于二项式的通项公式为， 令，得展开式的的系数为， 令，得展开式的的系数为， 所以展开式中的系数， 故答案为30. 【答案点睛】 本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）首先对函数求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围； （2）首先求出的值，再根据求出实数a的取值范围. 【题目详解】 （1）函数的定义域为是， ， 若有两个极值点，则方程一定有两个不等的正根， 设为和，且， 所以解得， 此时， 当时，， 当时，， 当时，， 故是极大值点，是极小值点， 故实数a的取值范围是； （2）由（1）知，，， 则， ， ， 由，得，即， 令，考虑到， 所以可化为， 而， 所以在上为增函数， 由，得， 故实数a的取值范围是. 【答案点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题. 18、（1）证明见解析；（2）． 【答案解析】 （1）取BC的中点O，则，由是等边三角形，得，从而得到平面，由此能证明 （2）以