2023届全国版天一大联考高考全国统考预测密卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A． B． C．7 D．2 2．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（ ） A． B． C． D． 3．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是( ) A． B．3 C． D． 4．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（ ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 8．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点( ) A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 9．已知为锐角，且，则等于（ ） A． B． C． D． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A． B． C． D． 11．数列满足，且，，则（ ） A． B．9 C． D．7 12．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在中，已知是的中点，且，点满足，则的取值范围是_______. 14．二项式的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为______. 15．已知函数，令，，若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_________ 16．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为______________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知数列满足（），数列的前项和，（），且，． （1）求数列的通项公式： （2）求数列的通项公式． （3）设，记是数列的前项和，求正整数，使得对于任意的均有． 18．（12分）已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，且平面． （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点. （1）若平面，证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 21．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围. 22．（10分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果． 【题目详解】 因为，所以，所以， 所以， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题． 2、D 【答案解析】 如图，平面截球所得截面的图形为圆面，计算，由勾股定理解得，此外接球的体积为，三棱锥体积为，得到答案. 【题目详解】 如图，平面截球所得截面的图形为圆面. 正三棱锥中，过作底面的垂线，垂足为，与平面交点记为，连接、. 依题意，所以，设球的半径为， 在中，，，， 由勾股定理：，解得，此外接球的体积为， 由于平面平面，所以平面， 球心到平面的距离为， 则， 所以三棱锥体积为， 所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 3、D 【答案解析】 设点，由，得关于的方程.由题意，该方程有解，则，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值. 【题目详解】 由题意，设点. ， 即， 整理得， 则，解得或. . 故选：. 【答案点睛】 本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题. 4、D 【答案解析】 根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程. 【题目详解】 如图所示： 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以渐近线方程为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半. 5、D 【答案解析】 首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小 【题目详解】 因为偶函数在减，所以在上增， ，，，∴. 故选：D 【答案点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题. 6、C 【答案解析】 由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解 【题目详解】 先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时， 故选：C 【答案点睛】 本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题 7、A 【答案解析】 根据题意，用表示出与，求出的值即可. 【题目详解】 解：根据题意，设，则 ， 又， ， ， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题. 8、A 【答案解析】 由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论. 【题目详解】 由图可知，， 又，， 又，，， 为了得到这个函数的图象， 只需将的图象上的所有向左平移个长度单位， 得到的图象， 再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可. 故选:A 【答案点睛】 本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题. 9、C 【答案解析】 由可得，再利用计算即可. 【题目详解】 因为，，所以， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 10、C 【答案解析】 将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可. 【题目详解】 设圆锥底面圆的半径为r，则，又， 故，所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力. 11、A 【答案解析】 先由题意可得数列为等差数列，再根据，，可求出公差，即可求出． 【题目详解】 数列满足，则数列为等差数列， ，， ，， ， ， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 12、B 【答案解析】 首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值； 【题目详解】 解：因为， 所以 因为 所以 ，即，， 时 故选： 【答案点睛】 本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由中点公式的向量形式可得，即有， 设，有，再分别讨论三点共线和不共线时的情况，找到的关系，即可根据函数知识求出范围． 【题目详解】 是的中点，∴，即 设，于是 (1)当共线时，因为， ①若点在之间，则，此时，； ②若点在的延长线上，则，此时，． (2)当不共线时，根据余弦定理可得， 解得，由，解得 ． 综上， 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题． 14、 【答案解析】 由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项． 【题目详解】 由题意，． 展开式通项为，由得， ∴常数项为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 15、4 【答案解析】 根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得，，，进而得到，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解. 【题目详解】 由题意，函数，且，， 可得， ， 又由，可得为常数列，且， 数列表示首项为4，公差为2的等差数列，所以， 其中数列满足， 所以， 所以， 又由， 可得数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 所以数列的前项和为，满足， 所以，即， 又由表示不超过实数的最大整数，所以. 故答案为：4. 【答案点睛】 本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 16、， 【答案解析】 根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式. 【题目详解】 由图象可知，，，，， 从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，. 又，，得，取， 所以，． 故答案为：，． 【答案点睛】 本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（）．（2），．（3） 【答案解析】 （1）依题意先求出,然后根据 ,求出的通项公式为,再检验的情况即可; （2）由递推公式,得, 结合数列性质