2023届吉林省长春市文曲星名校高考考前模拟数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．记其中表示不大于x的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k的取值范围( ) A． B． C． D． 2．已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．21 B．22 C．11 D．12 4．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．1 5．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（ ） A．1 B． C．2 D． 6．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（ ） A．{x|x＞﹣2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．∅ 7．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 9．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( ) A． B． C． D． 10．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ） A． B． C． D． 12．函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．数列满足，则，_____.若存在n∈N*使得成立，则实数λ的最小值为______ 14．在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程，（）转化为线性回归方程，即两边取对数，令，得到.受其启发，可求得函数（）的值域是_________. 15．已知向量，若向量与共线，则________. 16．复数为虚数单位）的虚部为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设为实数,在极坐标系中,已知圆（）与直线相切,求的值． 18．（12分）等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式； （2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由. 19．（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称. （1）求和的标准方程； （2）过点的直线与交于，与交于，求证：. 20．（12分）已知首项为2的数列满足. （1）证明：数列是等差数列． （2）令，求数列的前项和. 21．（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点. (1)求证:平面； (2)求三棱锥的体积. 22．（10分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 做出函数的图象，问题转化为函数的图象在有7个交点，而函数在上有3个交点，则在上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【题目详解】 作出函数的图象如图所示，由图可知 方程在上有3个不同的实数根， 则在上有4个不同的实数根， 当直线经过时，； 当直线经过时，， 可知当时，直线与的图象在上有4个交点， 即方程，在上有4个不同的实数根. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题. 2、B 【答案解析】 根据题意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解. 【题目详解】 易知，且 故有，则 故选：B 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题 3、A 【答案解析】 由题意知成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出的值. 【题目详解】 解：由为等差数列，可知也成等差数列， 所以 ，即，解得. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少. 4、B 【答案解析】 将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【题目详解】 根据实际问题可以转化为等比数列问题， 在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值． 因为，解得，，解得．故选B． 【答案点睛】 本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 5、D 【答案解析】 根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得. 【题目详解】 长方体中，， 点T在棱上，若平面. 则， 则，所以， 则， 所以 ， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 6、B 【答案解析】试题分析：由集合A中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B中的函数，得到，∴集合，则，故选B． 考点：交集及其运算． 7、B 【答案解析】 设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值. 【题目详解】 设棱长为1，，， 由题意得：，， ， 又 即异面直线与所成角的余弦值为： 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题. 8、D 【答案解析】 先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为,再由正弦函数的对称性得解. 【题目详解】 ,  将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为 ,  再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为 , ， 可得函数图象的一个对称中心为，故选D. 【答案点睛】 三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解． 9、C 【答案解析】 据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案． 【题目详解】 根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示： 的圆及内部的平面区域，面积为， 集合，，表示的平面区域即为图中的，， 根据几何概率的计算公式可得， 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积． 10、B 【答案解析】 设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【题目详解】 设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点， 所以， 则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时取等号，此时， ， 点在以为焦点的椭圆上，， 由椭圆的定义得， 所以椭圆的离心率，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 11、C 【答案解析】 由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项. 【题目详解】 由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由,可知若,则必有, 故选:C 【答案点睛】 本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力. 12、C 【答案解析】 根据正弦型函数的图象得到，结合图像变换知识得到答案. 【题目详解】 由图象知：，∴. 又时函数值最大， 所以.又， ∴，从而，， 只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象， 故选C. 【答案点睛】 已知函数的图象求解析式 (1).(2)由函数的周期求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用“退一作差法”求得数列的通项公式，将不等式分离常数，利用商比较法求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值. 【题目详解】 当时 两式相减得 所以 当时，满足上式 综上所述 存在使得成立的充要条件为存在使得， 设，所以，即， 所以单调递增，的最小项，即有的最小值为. 故答案为：(1). (2). 【答案点睛】 本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查数列单调性的判断方法，考查不等式成立的存在性问题的求解策略，属于中档题. 14、 【答案解析】 转化()为,即得解. 【题目详解】 由题意： (). 故答案为： 【答案点睛】 本题考查类比法求函数的值域，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 15、 【答案解析】 计算得到，根据向量平行计算得到答案. 【题目详解】 由题意可得， 因为与共线，所以有，即