2023届湖南省郴州市高考适应性考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义在上的函数满足，则（） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A．96里 B．72里 C．48里 D．24里 3．命题：的否定为 A． B． C． D． 4．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．-8 D．8 6．设集合则（ ） A． B． C． D． 7．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 8．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 9．展开式中x2的系数为( ) A．－1280 B．4864 C．－4864 D．1280 10．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（ ） A． B． C． D． 11．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若，则=____， = ___. 14．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____. 15．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____. 16． “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率 （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由. 18．（12分）已知函数. （1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：. 19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA． （1）求角B的大小； （2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC面积的最大值. 20．（12分）如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设． （1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域； （2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？ 21．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线过焦点的弦，已知以为直径的圆与相切于点. （1）求的值及圆的方程； （2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：. 22．（10分）已知函数， （1）证明：在区间单调递减； （2）证明：对任意的有． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 推导出，由此能求出的值． 【题目详解】 ∵定义在上的函数满足， ∴，故选C． 【答案点睛】 本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题. 2、B 【答案解析】 人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，计算，代入得到答案. 【题目详解】 由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为， 则，解得，从而可得，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3、C 【答案解析】 命题为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题的否定为，故选C． 4、A 【答案解析】 根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【题目详解】 由成等比数列得，即，已知，解得. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 5、B 【答案解析】 先求出向量,的坐标，然后由可求出参数的值. 【题目详解】 由向量，， 则， ， 又，则，解得. 故选：B 【答案点睛】 本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题. 6、C 【答案解析】 直接求交集得到答案. 【题目详解】 集合，则. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了交集运算，属于简单题. 7、C 【答案解析】 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为的等边三角形，三棱锥的高为，所以该几何体的体积，故选C． 8、A 【答案解析】 根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【题目详解】 由题可知，，，则 解得，由可得， 答案选A 【答案点睛】 本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 9、A 【答案解析】 根据二项式展开式的公式得到具体为：化简求值即可. 【题目详解】 根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为： 化简得到-1280 x2 故得到答案为：A. 【答案点睛】 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 10、D 【答案解析】 作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【题目详解】 如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项， 故选：D． 【答案点睛】 本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好． 11、B 【答案解析】 复数，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围. 【题目详解】 ， 由其在复平面对应的点在第二象限， 得，则. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12、C 【答案解析】 在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值. 【题目详解】 ∵直线是曲线的一条对称轴. ，又. . ∴平移后曲线为. 曲线的一个对称中心为. . ，注意到 故的最小值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、128 21 【答案解析】 令，求得的值.利用展开式的通项公式，求得的值. 【题目详解】 令，得.展开式的通项公式为，当时，为，即. 【答案点睛】 本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题. 14、 【答案解析】 根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值． 【题目详解】 ∵AB＝2，AD＝1， ∴ ＝1﹣4 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【答案点睛】 本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题． 15、①③④ 【答案解析】 对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确. 【题目详解】 对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确； 对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确； 对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面， 平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥， 所以四面体的体积一定是定值，所以③正确； 对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义， 四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确. 故答案为：①③④. 【答案点睛】 本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 16、 52 【答案解析】 设从第2天开始,每天比前一天多织尺布,由等差数列前项和公式求出,由此利用等差数列通项公式能求出. 【题目详解】 设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布, 则, 解得,即每天增加的数量为， ，故答案为，52. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）是定值，详见解析 【答案解析】 （1）根据长轴长为，离心率，则有求解. （2）设，则，直线，令得，，则，直线，令，得，则，再根据求解. 【题目详解】 （1）依题意得， 解得， 则椭圆的方程. （2）设，则， 直线， 令得，， 则， 直线， 令，得， 则， . 【答案点睛】 本题主要考查椭