2023届湖南省常德市武陵区第一中学高考全国统考预测密卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（ ） A．4 B．8 C．9 D．27 2．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ） A．5 B．3 C． D．2 4．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 5． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ） A．75 B．65 C．55 D．45 6．已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于(　　) A． B． C．- D．- 7．已知集合，，则为( ) A． B． C． D． 8．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ） A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不确定 9．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若不垂直于，且，则不垂直于 10．已知直线：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 11．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ） A． B． C． D． 12．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知四棱锥，底面四边形为正方形，，四棱锥的体积为，在该四棱锥内放置一球，则球体积的最大值为_________． 14．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____ 15．在的二项展开式中，所有项的系数的和为________ 16．内角，，的对边分别为，，，若，则__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． 求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线； 设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值． 18．（12分）己知，函数. （1）若，解不等式； （2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围. 19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为. (1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程； (2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值． 20．（12分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列. （Ｉ）求的值及数列的通项公式； （Ⅱ）设是数列的前项和，且，求的最小值. 21．（12分）已知，，，，证明： （1）； （2）. 22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为.若直线交曲线于，两点，求线段的长. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【题目详解】 设正四面体的棱长为，取的中点为，连接， 作正四面体的高为， 则， ， ， 设内切球的半径为，内切球的球心为， 则， 解得：； 设外接球的半径为，外接球的球心为， 则或，， 在中，由勾股定理得： ， ，解得， ， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题. 2、A 【答案解析】 根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【题目详解】 由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则. 由得,则. 又MN为过焦点的弦,所以,则,所以. 故选：A 【答案点睛】 本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题. 3、D 【答案解析】 由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离. 【题目详解】 解：由抛物线方程可知，，即，.设 则，即，所以. 所以线段的中点到轴的距离为. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和. 4、A 【答案解析】 投影即为，利用数量积运算即可得到结论. 【题目详解】 设向量与向量的夹角为， 由题意，得，， 所以，向量在向量方向上的投影为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 5、B 【答案解析】 计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和. 【题目详解】 依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B. 【答案点睛】 本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 6、A 【答案解析】 分析：计算，由z1，是实数得，从而得解. 详解：复数z1=3+4i,z2=a+i, . 所以z1，是实数， 所以，即. 故选A. 点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题. 7、C 【答案解析】 分别求解出集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【题目详解】 因为集合，， 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 8、A 【答案解析】 利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可 【题目详解】 据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 9、C 【答案解析】 因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确．应选答案C． 10、A 【答案解析】 根据直线：过双曲线的一个焦点，得，又和其中一条渐近线平行，得到，再求双曲线方程. 【题目详解】 因为直线：过双曲线的一个焦点， 所以，所以， 又和其中一条渐近线平行， 所以， 所以，， 所以双曲线方程为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11、D 【答案解析】 利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可. 【题目详解】 在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为， 矩形中位于曲线上方区域的面积为， 矩形的面积为， 由几何概型的概率公式得，所以，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 12、A 【答案解析】 设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求. 【题目详解】 设平面向量与的夹角为，，可得， 在等式两边平方得，化简得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题知，该四棱锥为正四棱锥，作出该正四棱锥的高和斜高，连接，则球心O必在的边上，设，由球与四棱锥的内切关系可知，设，用和表示四棱锥的体积，解得和的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值. 【题目详解】 设，， 由球O内切于四棱锥可知，，， 则，球O的半径， ， ，， 当且仅当时，等号成立， 此时. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的填空压轴题. 14、 【答案解析】 双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率． 【题目详解】 解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合， 一条渐近线的斜率为1，即， ，， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题． 15、1 【答案解析】 设，令，的值即为所有项的系数之和。 【题目详解】 设，令， 所有项的系数的和为。 【答案点睛】 本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法─赋值法。一般地， 对于 ，展开式各项系数之和为，注意与“二项式系数之和”区分。 16、 【答案解析】 ∵，∴，即， ∴，∴． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (Ⅰ) 曲线是焦点在轴上的椭圆；(Ⅱ)． 【答案解析】 试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为，（为参数），；曲线的直角坐标方程为，椭圆；（2）将直线代入椭圆得到，所以，解得． 试题解析： (Ⅰ)直线的参数方程为. 曲线的直角坐标方程为，即， 所以曲线是焦点在轴上的椭圆. (Ⅱ)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为 得， ， 得， ， 18、（1）；（2） 【答案解析】 （1）零点分段解不等式即可（2）等价于，由，得不等式即可求解 【题目详解】 （1）当时，， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得. 综上可知，原不等式的解集为. （2）. 存在使得成立，等价于. 又因为，所以，即. 解得，结合，所以实数的取值范围为. 【答案点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题 19、（1）（2） 【答案解析】 试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|