2023年创新方案高考数学复习精编人教新课标1010离散型随机变量的均值与方差正态分布理doc高中数学.docx

第十章 第十节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理) 题组一 离散型随机变量的均值问题 1.随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P m n 其中m，n∈[0,1)，且EX＝，那么m，n的值分别为 (　　) A.， B.， C.， D.， 解析：由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝， 由EX＝，得－m＝，∴m＝，n＝. 答案：D 2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，假设X表示取到次品的个数，那么EX等于________． 解析：X＝0时，P＝；X＝1时，P＝； X＝2时，P＝， ∴EX＝0×＋1×＋2×＝＝. 答案： 3．(2023·重庆高考)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为根底设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含工程的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个工程参与建设． (1)求他们选择的工程所属类别互不相同的概率； (2)记X为3人中选择的工程属于根底设施工程或产业建设工程的人数，求X的分布列及数学期望． 解：记第i名工人选择的工程属于根底设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2， C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝， P(Bi)＝，P(Ci)＝. (1)他们选择的工程所属类别互不相同的概率 P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3) ＝6×××＝. (2)法一：设3名工人中选择的工程属于民生工程的人数为Y，由，Y～B(3，)， 且X＝3－Y，所以 P(X＝0)＝P(Y＝3)＝C()3＝， P(X＝1)＝P(Y＝2)＝C()2()＝， P(X＝2)＝P(Y＝1)＝C()()2＝， P(X＝3)＝P(Y＝0)＝C()3＝. 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的数学期望 EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 法二：记第i名工人选择的工程属于根底设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝ 1,2,3.由，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai＋Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝， 所以X～B(3，)， 即P(X＝k)＝C()k()3－k，k＝0,1,2,3. 故X的分布列是： X 0 1 2 3 P X的数学期望EX＝3×＝2. 题组二 离散型随机变量的方差问题 4.设X是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又EX＝15，DX＝，那么n与p的值为(　　) A．60， B．60， C．50， D．50， 解析：由X～B(n，p)，有EX＝np＝15， DX＝np(1－p)＝，∴p＝，n＝60. 答案：B 5．随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.5 x y 假设EX=，那么DX等于 （ ） A. B. C. D. 解析：由分布列的性质得x＋y＝0.5， 又EX＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝. 所以DX＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. 答案：B 6．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)假设Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值． 解：(1)X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5， DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(Y)＝a2DX，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(Y)＝aEX＋b， ∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴或即为所求． 题组三 离散型随机变量的均值与方差的实际应用 7.“好运〞出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为________元． 解析：设公司每月对这辆车收入为X元，那么其分布列为： X －100 2 500 P 0.2 0.8 故EX＝(－100)×0.2＋2 500×0.8＝1 980元． 答案：1 980 8．利用以下盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是________. 自然状况 盈利 方案 概率 A1 A2 A3 A4 S1 0.25 50 70 －20 98 S2 0.30 65 26 52 82 S3 0.45 26 16 78 －10 解析：利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是： 50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7； 70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5； －20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7； 98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6. 答案：A3 9．(2023·徐州模拟)某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是1/3.每次测试通过与否互相独立．规定：假设前4次都没有通过测试，那么第5次不能参加测试． (1)求该学生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望． 解：(1)记“该生考上大学〞的事件为事件A，其对立事件为，那么P()＝C()()3()＋()4＝＋＝. ∴P(A)＝1－P()＝＝. (2)该生参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5. P(X＝2)＝()2＝， P(X＝3)＝C···＝， P(X＝4)＝C··()2·＋()4＝＋＝， P(X＝5)＝C()·()2＝. 故X的分布列为： X 2 3 4 5 P EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 题组四 正态分布问题 10．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图像如下列图，那么有(　　) A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 解析：μ反映正态分布的平均水平，x＝μ是正态曲线的对称轴，由图知μ1＜μ2，σ反 映正态分布的离散程度，σ越大，曲线越“矮胖〞，说明越分散，σ越小，曲线越“高 瘦〞，说明越集中，由图知σ1＜σ2. 答案：A 11．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，假设X在(0,1)内取值的概率为0.4，那么X在(0,2)内取值的概率为________． 解析：在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，正态分布图像的对称 轴为x＝1，X在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量X在(1,2)内取值的概率与X 在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量X在(0,2)内取值的概率为0.8. 答案：0.8 12．随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，那么P(X＞2)＝________. 解析：∵P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(－2≤X≤2)＝0.8， ∴P(X＞2)＝P(X＜－2)＝0.1. 答案：0.1