2023届江西省赣州市赣州中学高考数学倒计时模拟卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为锐角，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．已知三棱柱( ) A． B． C． D． 5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ＋μ的值为（　　　　） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A．25 B．32 C．35 D．40 7．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 9．给出以下四个命题： ①依次首尾相接的四条线段必共面； ②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； ③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 11．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（ ） A． B． C． D． 12．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若，则________. 14．设复数满足,则_________. 15．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数满足的取值范围是__________． 16．若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，四棱锥中，平面，，，. （Ｉ）证明：； （Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长. 18．（12分）已知集合，. （1）若，则； （2）若，求实数的取值范围. 19．（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由. 20．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：.过点的直线：（为参数）与曲线相交于，两点. （1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若，求实数的值. 21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C的极坐标方程； （2）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求最大时，直线l的直角坐标方程. 22．（10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点． （1）证明：AP∥平面EBD； （2）证明：BE⊥PC． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 用诱导公式和二倍角公式计算． 【题目详解】 ． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 2、A 【答案解析】 构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集. 【题目详解】 构造函数， 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到， 的定义域为，且， 所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称. 不等式等价于， 等价于，注意到， 结合图像关于对称和单调递增可知. 所以不等式的解集是. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题. 3、C 【答案解析】 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值. 【题目详解】 由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设.则. 故异面直线EF与BD所成角的余弦值为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4、C 【答案解析】 因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝ 5、B 【答案解析】 建立平面直角坐标系，用坐标表示，利用，列出方程组求解即可. 【题目详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0). 不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)， ∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， 解得则. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题. 6、C 【答案解析】 设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得． 【题目详解】 设等差数列的首项为，公差为，则 ，解得，∴，即有． 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题． 7、C 【答案解析】 在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论. 【题目详解】 在长方体中，平面即为平面， 过做于，平面， 平面， 平面，为与平面所成角， 在， ， 直线与平面所成角的余弦值为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 8、D 【答案解析】 因为，， 所以且在上单调递减，且 所以，所以， 又因为，，所以， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“”比较大小. 9、B 【答案解析】 用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断. 【题目详解】 ①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误. ②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误. ④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B 【答案点睛】 本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想. 10、D 【答案解析】 根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积. 【题目详解】 如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的， 该几何体的体积为， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题. 11、A 【答案解析】 试题分析：设公差为 或（舍），故选A. 考点：等差数列及其性质. 12、C 【答案解析】 由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【题目详解】 由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中， 故选C 【答案点睛】 本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、13 【答案解析】 由导函数的应用得：设，， 所以，，又，所以，即， 由二项式定理：令得：，再由，求出，从而得到的值； 【题目详解】 解：设，， 所以，， 又，所以， 即， 取得：， 又， 所以， 故， 故答案为：13 【答案点睛】 本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题 14、. 【答案解析】 利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果. 【题目详解】 ∵复数满足， ∴，∴， 故而可得，故答案为. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题． 15、 【答案解析】 问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，利用数形结合思想能求出结果． 【题目详解】 解：直线，点，， 直线上存在点满足， 的轨迹方程是． 如图，直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离： ， 解得． 实数的取值范围为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题． 16、 【答案解析】 将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【题目详解】 如图所示，将正四面体补形成一个正方体， 则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球， 因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，