2023届杭州市采荷中学高考数学三模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示，为了测量、两座岛屿间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东开2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，再开回处，由向西开百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则、两座岛屿间的距离为（ ） A．3 B． C．4 D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）． A．收入最高值与收入最低值的比是 B．结余最高的月份是月份 C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同 D．前个月的平均收入为万元 4．在中，为边上的中点，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（    ） A． B． C． 或 D． 或 6．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ） A．或 B． C． D．或 7．已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是（　　　　） A． B． C． D． 8．已知向量，，当时，（ ） A． B． C． D． 9．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．若复数是纯虚数，则( ) A．3 B．5 C． D． 12．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，，，则的最小值是__． 14． “”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一） 15．已知非零向量的夹角为，且，则______. 16．已知双曲线的一条渐近线方程为，则________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线为参数）与圆的位置关系． 18．（12分）数列满足，是与的等差中项. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点. 求椭圆的方程； 已知是椭圆的内接三角形， ①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长； ②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值. 20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点且，，，. 求证：平面平面以； 求二面角的大小. 21．（12分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由. 22．（10分）已知函数，设为的导数，． （1）求，； （2）猜想的表达式，并证明你的结论． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 先根据角度分析出的大小，然后根据角度关系得到的长度，再根据正弦定理计算出的长度，最后利用余弦定理求解出的长度即可. 【题目详解】 由题意可知：， 所以，， 所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 2、B 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【题目详解】 ． 故选B． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3、D 【答案解析】 由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确； 结余最高为月份，为，故项正确； 至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确； 前个月的平均收入为万元，故项错误． 综上，故选． 4、A 【答案解析】 由为边上的中点，表示出，然后用向量模的计算公式求模. 【题目详解】 解：为边上的中点， ， 故选：A 【答案点睛】 在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题. 5、D 【答案解析】 由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程. 【题目详解】 由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q= 故选：D． 【答案点睛】 本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练． 6、D 【答案解析】 根据正弦定理得到，化简得到答案. 【题目详解】 由，得， ∴，∴或，∴或． 故选： 【答案点睛】 本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 7、B 【答案解析】 先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【题目详解】 为真命题；命题是假命题，比如当, 或时，则 不成立. 则，，均为假. 故选:B 【答案点睛】 本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 8、A 【答案解析】 根据向量的坐标运算，求出，，即可求解. 【题目详解】 ， . 故选:A. 【答案点睛】 本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 9、B 【答案解析】 求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【题目详解】 由题意,对应点坐标为 ，在第二象限． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题． 10、C 【答案解析】 试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以 ，故C为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 11、C 【答案解析】 先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可 【题目详解】 由z是纯虚数，得且，所以，. 因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 12、C 【答案解析】 分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解. 【题目详解】 解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以 =，所以当时，的最小值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、． 【答案解析】 因为，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【题目详解】 由，得， 所以，当且仅当，取等号. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力. 14、充分不必要 【答案解析】 由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系. 【题目详解】 由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要 【答案点睛】 本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用. 15、1 【答案解析】 由已知条件得出,可得，解之可得答案. 【题目详解】 向量的夹角为,且,,可得:,  可得, 解得， 故答案为:1. 【答案点睛】 本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题. 16、 【答案解析】 根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数的值. 【题目详解】 双曲线的渐近线方程为， 由于该双曲线的一条渐近线方程为，，解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、直线与圆C相切． 【答案解析】 首先把直线和圆转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系． 【题目详解】 直线为参数），转换为直角坐标方程为． 圆转换为直角坐标方程为，转换为标准形式为， 所以圆心到直线，的距离． 直线与圆C相切． 【答案点睛】 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18、（1）见解析，（2） 【答案解析】 （1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求 （2）根据（1）的结果，分组求和即可 【题目详解】 解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列. 即有，所以. （2）由（1）知，数列的通项为：， 故. 【答案点睛】 考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题. 19、；①；②. 【答案解析】 根据题意列出方程组求解即可； ①由原点为的垂心可得，轴，设，则，，根据求出线段的长； ②设中点为，直线与椭圆交于，两点，为的重心，则，设：，，，则，当斜率不存在时，则到直线的距离为1，，由，则，，，得出，根据求解即可. 【题目详解】 解：设焦距为，由题意知：， 因此，椭圆的方程为：； ①由题意知：，故轴，设，则，， ，解得：或， ，不重合，故，，故； ②设中点为，直线与椭圆交于，两点， 为的重心，则， 当斜率不存在时，则到直线的距离为1； 设：，，，则 ， ，则 ， 则：，，代入式子得： ， 设到直线的距离为，则 时，； 综上，原点到直线距离的最小值为. 【答案点睛】 本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题. 20、证明见解析；. 【答案解析】 推导出，，从而平面，由此证明平面平面以； 以为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的大小. 【题目详解】 解：，，为的中点， 四边形为平行四边形，. ,，即. 又平面平面，且平面平面， 平面. 平面， 平面平面. ，为的中点， . 平面平面，且平面平面， 平面. 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为， ，，，， 设，则，， ， ， ， 在平面中，，， 设平面的法向量为， 则，即， 平面的一个法向量为， ， 由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为. 【答案点睛】 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题. 21、（1）；（2）是定值，. 【答案解析】 （1）设出M的坐标为，采用直接法求曲线的方程； （2）设AB的方程为，，