2023届山西省朔州市应县第一中学高考适应性考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（ ） A． B． C． D． 2．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A．23 B．25 C．28 D．29 3．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．在中，内角的平分线交边于点，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 5．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（ ） A． B． C． D． 6．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．充分不必要条件 7．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 8．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ） A．9 B．7 C． D． 9．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 10．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ） A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点 C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点 11．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．在的展开式中，的系数为( ) A．-120 B．120 C．-15 D．15 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________. 14．已知，，，则的最小值是__． 15．已知三棱锥，，是边长为4的正三角形，，分别是、的中点，为棱上一动点（点除外），，若异面直线与所成的角为，且，则______. 16．已知集合，则_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）设函数的极值点为，当变化时，点构成曲线，证明：过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点. 18．（12分）在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为． （1）分别求、、的值； （2）求的表达式． 19．（12分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求． 20．（12分）若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”. （1）设函数（）. ①当时，求函数的极值； ②若函数存在“F点”，求k的值； （2）已知函数（a，b，，）存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围. 21．（12分）已知函数. （1）若是的极值点，求的极大值； （2）求实数的范围，使得恒成立. 22．（10分）已知函数和的图象关于原点对称，且． （1）解关于的不等式； （2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果. 【题目详解】 为定义在上的奇函数，. 当时，，， 为奇函数，， 由得：或； 综上所述：若，则的解集为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况. 2、D 【答案解析】 由可求，再求公差，再求解即可. 【题目详解】 解：是等差数列 ，又， 公差为， ， 故选：D 【答案点睛】 考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 3、B 【答案解析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【题目详解】 解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下： 可知点,， 在处有最小值，最小值为. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题. 4、B 【答案解析】 利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，进而求出，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积. 【题目详解】 为的角平分线，则. ，则， ， 在中，由正弦定理得，即，① 在中，由正弦定理得，即，② ①②得，解得，， 由余弦定理得，， 因此，的面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 5、B 【答案解析】 先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出. 【题目详解】 因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长， 则，由几何概型的概率计算公式知， 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题. 6、D 【答案解析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案. 【题目详解】 充分性：若存在正数，使得，则，，得证； 必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立； 所以是充分不必要条件 故选：D 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 7、B 【答案解析】 由f(1)=得a2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B. 8、C 【答案解析】 根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得. 【题目详解】 设，，则. 因为平面，平面，所以. 又，，所以平面，则. 易知，. 在中，， 即，化简得. 在中，，. 所以. 因为， 当且仅当，时等号成立，所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题. 9、C 【答案解析】 由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【题目详解】 因为函数和在递增，而在递减. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题. 10、A 【答案解析】 根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上. 【题目详解】 ,， , 又，, 平面,又平面 ， 故在以为直径的圆上， 又是内异于的动点， 所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题. 11、C 【答案解析】 讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案. 【题目详解】 解：当时，，由开口向上，则恒成立； 当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意， 若 时，要使得恒成立，则 ，即 . 所以“”是“恒成立”的充要条件. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出 是 的充分条件；若，则推出 是 的必要条件. 12、C 【答案解析】 写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数． 【题目详解】 的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C 【答案点睛】 本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即． 【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为． 14、． 【答案解析】 因为，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【题目详解】 由，得， 所以，当且仅当，取等号. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力. 15、 【答案解析】 取的中点，连接，，取的中点，连接，，，直线与所成的角为，计算，，根据余弦定理计算得到答案。 【题目详解】 取的中点，连接，，依题意可得，， 所以平面，所以， 因为，分别、的中点，所以，因为，所以， 所以平面，故，故， 故两两垂直。 取的中点，连接，，，因为， 所以直线与所成的角为， 设，则， ， 所以， 化简得，解得，即. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 16、 【答案解析】 由可得集合是奇数集，由此可以得出结果. 【题目详解】 解：因为 所以集合中的元素为奇数， 所以. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）证明见解析 【答案解析】 （1）由恒成立，可得恒成立，进而构造函数，求导可判断出的单调性，进而可求出的最小值，令即可； （2）由，可知存在唯一的，使得，则，，进而可得，即曲线的方程为，进而只需证明对任意，方程有唯一解，然后构造函数，分、和三种情况，分别证明函数在上有唯一的零点，即可证明结论成立. 【题目详解】 （1）由题意，可知，由恒成立，可得恒成立. 令，则. 令，则， ，， 在上单调递增，又， 时，；时，， 即时，；时，， 时，单调递减；时，单调递增， 时，取最小值， . （2）证明：由，令， 由，结合二次函数性质可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的极值点，则，， ， 曲线的方程为. 故只需证明对任意，方程有唯一解. 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递增. ，， ，存在满足时，使得. 又单调递增，所以为唯一解. ②当时，二次函数，满足， 则恒成立，在上单调递增. ，， 存在使得， 又在上单调递增，为唯一解. ③当时，二次函数，满足， 此