2023届天津市蓟州区第一中学高考冲刺数学模拟试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则，不可能满足的关系是（） A． B． C． D． 3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ） A． B．3 C．1 D． 4．已知命题，那么为（ ） A． B． C． D． 5．已知为虚数单位，若复数，，则 A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 8．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D．1 9．设P＝{y |y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y |y＝2x，x∈R}，则 A．P Q B．Q P C．Q D．Q 10．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ） A．4 B． C． D． 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是( ) A． B． C． D． 12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为　　 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____. 14．已知实数 满足，则的最大值为________. 15．实数满足，则的最大值为_____． 16．己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，四棱锥中，平面，，，. （Ｉ）证明：； （Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长. 18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点，求的取值范围. 19．（12分）在底面为菱形的四棱柱中，平面. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 20．（12分）已知函数. （1）证明：函数在上存在唯一的零点； （2）若函数在区间上的最小值为1，求的值. 21．（12分）如图，在四边形中，，，. （1）求的长； （2）若的面积为6，求的值. 22．（10分）已知函数，其中. （1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若函数在定义域上有两个极值点，且. ①求实数的取值范围； ②求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值. 【题目详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，，，. 因此，随机变量的数学期望为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题. 2、C 【答案解析】 根据即可得出，，根据，，即可判断出结果． 【题目详解】 ∵； ∴，； ∴，，故正确； ，故C错误； ∵ ，故D正确 故C． 【答案点睛】 本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题 3、D 【答案解析】 整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【题目详解】 由题,, 因为纯虚数,所以,则, 故选:D 【答案点睛】 本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 4、B 【答案解析】 利用特称命题的否定分析解答得解. 【题目详解】 已知命题，，那么是. 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5、B 【答案解析】 由可得，所以，故选B． 6、A 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【题目详解】 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2， 又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 7、A 【答案解析】 投影即为，利用数量积运算即可得到结论. 【题目详解】 设向量与向量的夹角为， 由题意，得，， 所以，向量在向量方向上的投影为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 8、B 【答案解析】 先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【题目详解】 解：当 时，，则;当时， 则.设 为函数图像上的两点， 当 或时，，不符合题意，故. 则在 处的切线方程为； 在 处的切线方程为.由两切线重合可知 ，整理得.不妨设 则 ，由 可得 则当时， 的最大值为. 则在 上单调递减，则. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算. 9、C 【答案解析】 解：因为P ={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q ={y| y=2x，x∈R }={y|y>0},因此选C 10、D 【答案解析】 试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D. 考点：线性规划. 11、A 【答案解析】 根据正弦定理可得，求出，根据平方关系求出.由两端平方，求的最大值，根据三角形面积公式，求出面积的最大值. 【题目详解】 中，， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理，得. D是AB的中点，且， ，即， 即， ，当且仅当时，等号成立. 的面积， 所以面积的最大值为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 12、C 【答案解析】 由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值． 【题目详解】 解：初始值，，程序运行过程如下表所示： ， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 跳出循环，输出的值为 其中① ② ①—②得 ． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到，的值是解题的关键，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值. 【题目详解】 根据题意,连接,如下图所示: 在等腰三角形中,已知, 则由向量数量积运算可知 线段的中点分别为则 由向量减法的线性运算可得 所以 因为,代入化简可得 因为 所以当时, 取得最小值 因而 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题. 14、 【答案解析】 作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案. 【题目详解】 画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点， 目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率， 当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题. 15、． 【答案解析】 画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【题目详解】 解：作出可行域，如图所示， 则当直线过点时直线的截距最大，z取最大值． 由同理 ，， 取最大值． 故答案为： ． 【答案点睛】 本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值. 16、 【答案解析】 首先判断出函数为定义在上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式对任意的恒成立，可转化为在上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案． 【题目详解】 解：函数的定义域为，且， 函数为奇函数， 当时，函数，显然此时函数为增函数， 函数为定义在上的增函数， 不等式即为， 在上恒成立， ，解得． 故答案为． 【答案点睛】 本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【答案解析】 （Ⅰ）取的中点，连接，由，，得三点共线，且，又，再利用线面垂直的判定定理证明. （Ⅱ）设，则，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，两式相加求得，再过作，则平面，即点到平面的距离，由是中点，得到到平面的距离，然后根据与平面所成的角的正弦值为求解. 【题目详解】 （Ⅰ）取的中点，连接， 由，，得三点共线， 且，又，， 所以平面， 所以. （Ⅱ）设，，， 在底面中，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得， 两式相加得：， 所以 ， ， 过作，则平面， 即点到平面的距离， 因为是中点，所以为到平面的距离， 因为与平面所成的角的正弦值为， 即， 解得. 【答案点睛】 本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档题. 18、（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）利用勾股定理结合条