2023届云南省玉溪市红塔区高考数学一模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的公差不为零，且，，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．已知实数集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为( ) A． B． C． D． 5．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( ) A． B． C． D． 6．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 8．设，，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ） A． B． C． D． 10．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．三棱锥的各个顶点都在求的表面上，且是等边三角形，底面，，，若点在线段上，且，则过点的平面截球所得截面的最小面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，若，则________. 14．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨. 15．戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答）， 16．已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由. 18．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升. 将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，. 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05 （1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程. （2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量. 线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，. 参考数据： 4 5 6 7 8 的近似值 55 148 403 1097 2981 19．（12分）设函数（）的最小值为. （1）求的值； （2）若，，为正实数，且，证明：. 20．（12分）已知函数. （1）当时，求函数的值域. （2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 21．（12分）如图，是矩形，的顶点在边上，点，分别是，上的动点（的长度满足需求）.设，，，且满足. （1）求； （2）若，，求的最大值. 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为. （1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用等差数列的通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可求解. 【题目详解】 由，，构成等差数列可得 即 又 解得： 又 所以时，. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题. 2、A 【答案解析】 可得集合,求出补集,再求出即可. 【题目详解】 由,得,即, 所以, 所以. 故选:A 【答案点睛】 本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题. 3、C 【答案解析】 先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围. 【题目详解】 由题化简得，， 作出的图象， 又由易知． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 4、A 【答案解析】 确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项． 【题目详解】 时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 5、B 【答案解析】 设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B． 6、A 【答案解析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案. 【题目详解】 解：， 在复平面内对应的点的坐标是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 7、B 【答案解析】 由函数的奇偶性可得， 【题目详解】 ∵ 其中为奇函数，也为奇函数 ∴也为奇函数 ∴ 故选：B 【答案点睛】 函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数 8、A 【答案解析】 根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【题目详解】 若， ，则，可得； 若，可得，无法得到， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【答案点睛】 本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是： ① 若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ② 若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③ 若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④ 若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系. 9、D 【答案解析】 确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案. 【题目详解】 由可知，点为外心， 则，，又， 所以① 因为，② 联立方程①②可得，，，因为， 所以，即． 故选： 【答案点睛】 本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力. 10、D 【答案解析】 由图象可以求出周期，得到，根据图象过点可求，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可. 【题目详解】 由图象知， 所以，， 又图象过点， 所以， 故可取， 所以 令， 解得 所以函数的单调递增区间为 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题. 11、D 【答案解析】 将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，，是增函数； 当时，，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解； 【题目详解】 函数在内都有两个不同的零点， 等价于方程在内都有两个不同的根. ，所以当时，，是增函数； 当时，，是减函数.因此. 设，， 若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解. 设其解为，当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数. 因为，方程在内有两个不同的根， 所以，且.由，即，解得. 由，即，所以. 因为，所以，代入，得. 设，，所以在上是增函数， 而，由可得，得. 由在上是增函数，得. 综上所述， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题 12、A 【答案解析】 由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC的外接球的半径，再求出外接球球心到D的距离，利用勾股定理求得过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径，则答案可求. 【题目详解】 如图，设三角形ABC外接圆的圆心为G，则外接圆半径AG=, 设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O，则外接球的半径R= 取SA中点E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1, 所以OD=. 则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为 所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为 故选：A 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、10 【答案解析】 根据垂直得到，代入计算得到答案. 【题目详解】 ，则，解得， 故，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力. 14、10 【答案解析】 根据已知数据直接计算即得. 【题目详解】 由题得，. 故答案为：10 【答案点睛】 本题考查求平均数，是基础题. 15、1080 【答案解析】 按照先分组，再分配的分式，先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种，再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种，然后用分步计数原理求解. 【题目详解】 将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种， 再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种， 则不同的分配方案有种. 故答案为：1080