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2023
学年
黑龙江
齐齐哈尔
联谊
高考
数学
试卷
解析
2023学年高考数学模拟测试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.点在曲线上,过作轴垂线,设与曲线交于点,,且点的纵坐标始终为0,则称点为曲线上的“水平黄金点”,则曲线上的“水平黄金点”的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是( ).
A. B. C. D.
3.棱长为2的正方体内有一个内切球,过正方体中两条异面直线,的中点作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为( )
A. B. C. D.1
4.命题:存在实数,对任意实数,使得恒成立;:,为奇函数,则下列命题是真命题的是( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,以(为坐标原点)为直径的圆交双曲线于两点,若直线与圆相切,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.函数在上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知定点,,是圆上的任意一点,点关于点的对称点为,线段的垂直平分线与直线相交于点,则点的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
8.已知a,b∈R,,则( )
A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a
9.已知点P在椭圆τ:=1(a>b>0)上,点P在第一象限,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设,直线AD与椭圆τ的另一个交点为B,若PA⊥PB,则椭圆τ的离心率e=( )
A. B. C. D.
10.半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示,图中网格是边长为1的正方形,粗线部分是某二十四等边体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
11.在直角梯形中,,,,,点为上一点,且,当的值最大时,( )
A. B.2 C. D.
12.抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,若点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知数列的前项和为且满足,则数列的通项_______.
14.记实数中的最大数为,最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长,若,则的取值范围是 .
15.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,则a1=_____,a1+a2+…+a5=____
16.在中,内角所对的边分别是.若,,则__,面积的最大值为___.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点,且与圆相切.
(1)求的值;
(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设.求证点在定直线上,并求该定直线的方程.
18.(12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.
(1)证明:AP∥平面EBD;
(2)证明:BE⊥PC.
19.(12分)已知椭圆的短轴长为,左右焦点分别为,,点是椭圆上位于第一象限的任一点,且当时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆上点与点关于原点对称,过点作垂直于轴,垂足为,连接并延长交于另一点,交轴于点.
(ⅰ)求面积最大值;
(ⅱ)证明:直线与斜率之积为定值.
20.(12分)已知矩阵的逆矩阵.若曲线:在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线,求曲线的方程.
21.(12分)已知函数.
(1)当时,判断在上的单调性并加以证明;
(2)若,,求的取值范围.
22.(10分)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,证明.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【答案解析】
设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.
【题目详解】
设,则,所以,
依题意可得,
设,则,
当时,,则单调递减;当时,,则单调递增,
所以,且,
有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.
故选:C
【答案点睛】
本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.
2、A
【答案解析】
基本事件总数,利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个,由此能求出其和等于11的概率.
【题目详解】
解:从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,
基本事件总数,
其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4个,
其和等于的概率.
故选:.
【答案点睛】
本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
3、C
【答案解析】
连结并延长PO,交对棱C1D1于R,则R为对棱的中点,取MN的中点H,则OH⊥MN,推导出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长.
【题目详解】
如图,
MN为该直线被球面截在球内的线段
连结并延长PO,交对棱C1D1于R,
则R为对棱的中点,取MN的中点H,则OH⊥MN,
∴OH∥RQ,且OH=RQ=,
∴MH===,
∴MN=.
故选:C.
【答案点睛】
本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
4、A
【答案解析】
分别判断命题和的真假性,然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.
【题目详解】
对于命题,由于,所以命题为真命题.对于命题,由于,由解得,且,所以是奇函数,故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.
故选:A
【答案点睛】
本小题主要考查诱导公式,考查函数的奇偶性,考查含有逻辑联结词命题真假性的判断,属于基础题.
5、D
【答案解析】
连接,可得,在中,由余弦定理得,结合双曲线的定义,即得解.
【题目详解】
连接,
则,,
所以,
在中,,,
故
在中,由余弦定理
可得.
根据双曲线的定义,得,
所以双曲线的离心率
故选:D
【答案点睛】
本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.
6、A
【答案解析】
首先判断函数的奇偶性,再根据特殊值即可利用排除法解得;
【题目详解】
解:依题意,,故函数为偶函数,图象关于轴对称,排除C;
而,排除B;,排除D.
故选:.
【答案点睛】
本题考查函数图象的识别,函数的奇偶性的应用,属于基础题.
7、B
【答案解析】
根据线段垂直平分线的性质,结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.
【题目详解】
因为线段的垂直平分线与直线相交于点,如下图所示:
所以有,而是中点,连接,故,
因此
当在如下图所示位置时有,所以有,而是中点,连接,
故,因此,
综上所述:有,所以点的轨迹是双曲线.
故选:B
【答案点睛】
本题考查了双曲线的定义,考查了数学运算能力和推理论证能力,考查了分类讨论思想.
8、C
【答案解析】
两复数相等,实部与虚部对应相等.
【题目详解】
由,
得,即a,b=1.
∴b=9a.
故选:C.
【答案点睛】
本题考查复数的概念,属于基础题.
9、C
【答案解析】
设,则,,,设,根据化简得到,得到答案.
【题目详解】
设,则,,,则,设,
则,两式相减得到:,
,,即,,
,故,即,故,故.
故选:.
【答案点睛】
本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.
10、D
【答案解析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示,求出该几何体的棱长,可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的,可求出其体积.
【题目详解】
如下图所示,将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中,由三视图可知,该几何体的棱长为,它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的,
该几何体的体积为,
故选:D.
【答案点睛】
本题考查三视图,几何体的体积,对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到,属于中档题.
11、B
【答案解析】
由题,可求出,所以,根据共线定理,设,利用向量三角形法则求出,结合题给,得出,进而得出,最后利用二次函数求出的最大值,即可求出.
【题目详解】
由题意,直角梯形中,,,,,
可求得,所以·
∵点在线段上, 设 ,
则
,
即,
又因为
所以,
所以,
当时,等号成立.
所以.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理,以及运用二次函数求最值,考查转化思想和解题能力.
12、B
【答案解析】
通过抛物线的定义,转化,要使有最小值,只需最大即可,作出切线方程即可求出比值的最小值.
【题目详解】
解:由题意可知,抛物线的准线方程为,,
过作垂直直线于,
由抛物线的定义可知,连结,当是抛物线的切线时,有最小值,则最大,即最大,就是直线的斜率最大,
设在的方程为:,所以,
解得:,
所以,解得,
所以,
.
故选:.
【答案点睛】
本题考查抛物线的基本性质,直线与抛物线的位置关系,转化思想的应用,属于基础题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、
【答案解析】
先求得时;再由可得时,两式作差可得,进而求解.
【题目详解】
当时,,解得;
由,可知当时,,两式相减,得,即,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,
故答案为:
【答案点睛】
本题考查由与的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.
14、
【答案解析】
试题分析:显然,又,
①当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而
②当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而
综上所述,的取值范围是.
考点:不等式、简单线性规划.
15、80 211
【答案解析】
由,利用二项式定理即可得,分别令、后,作差即可得.
【题目详解】
由题意,则,
令,得,
令,得,
故.
故答案为:80,211.
【答案点睛】
本题考查了二项式定理的应用,属于中档题.
16、1
【答案解析】
由正弦定理,结合,,可求出;由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.
【题目详解】
因为,所以由正弦定理可得,所以;
所以,当,即时,三角形面积最大.
故答案为(1). 1 (2).
【答案点睛】
本题主要考查解三角形