2023届上海市松江区高考仿真卷数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示，为了测量、两座岛屿间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东开2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，再开回处，由向西开百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则、两座岛屿间的距离为（ ） A．3 B． C．4 D． 2．已知集合,则（ ） A． B． C． D． 3．复数满足，则（ ） A． B． C． D． 4．已知实数满足约束条件，则的最小值是 A． B． C．1 D．4 5．已知为实数集，，，则（ ） A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 7．是恒成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 9．若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 12．在三棱锥中，，且分别是棱，的中点，下面四个结论： ①； ②平面； ③三棱锥的体积的最大值为； ④与一定不垂直. 其中所有正确命题的序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．，则f（f（2））的值为____________． 14．在的展开式中，的系数等于__． 15．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____． 16．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为 ______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在中，内角的对边分别为，且 （1）求； （2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围. 18．（12分）已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）求函数的零点个数． 19．（12分）设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积，满足. (1)求； (2)若，求的最大值. 20．（12分）已知，函数. （Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值； （Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：） 21．（12分）已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 22．（10分）已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 先根据角度分析出的大小，然后根据角度关系得到的长度，再根据正弦定理计算出的长度，最后利用余弦定理求解出的长度即可. 【题目详解】 由题意可知：， 所以，， 所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 2、B 【答案解析】 计算，再计算交集得到答案 【题目详解】 ,表示偶数， 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力. 3、C 【答案解析】 利用复数模与除法运算即可得到结果. 【题目详解】 解: ， 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题. 4、B 【答案解析】 作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值， 由，解得，所以，所以，故选B． 5、C 【答案解析】 求出集合，，，由此能求出． 【题目详解】 为实数集，，， 或， ． 故选：． 【答案点睛】 本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6、C 【答案解析】 框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【题目详解】 第一次循环：；第二次循环：； 第三次循环：；第四次循环：； 此时满足输出结果，故. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 7、A 【答案解析】 设 成立；反之，满足 ，但，故选A. 8、A 【答案解析】 利用复数的乘法运算可求得结果. 【题目详解】 由复数的乘法法则得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 9、B 【答案解析】 由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解 【题目详解】 由题意得， 因为，， 所以在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题. 10、D 【答案解析】 设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案. 【题目详解】 设双曲线的左焦点为，连接，，， 设，则，，， ，根据对称性知四边形为矩形， 中：，即，解得； 中：，即，故，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11、C 【答案解析】 化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由 得可判断④. 【题目详解】 由题意，，所以，故①正确； 为偶函数，故②错误；当 时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有 成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为 ，故④正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 12、D 【答案解析】 ①通过证明平面，证得；②通过证明，证得平面；③求得三棱锥体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得与一定不垂直. 【题目详解】 设的中点为，连接，则，，又，所以平面，所以，故①正确；因为，所以平面，故②正确；当平面与平面垂直时，最大，最大值为，故③错误；若与垂直，又因为，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因为，所以显然与不可能垂直，故④正确. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 先求f（1），再根据f（1）值所在区间求f（f（1））. 【题目详解】 由题意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力. 14、7 【答案解析】 由题，得，令，即可得到本题答案. 【题目详解】 由题，得， 令，得x的系数. 故答案为：7 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，属基础题. 15、 【答案解析】 利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可. 【题目详解】 解：复数为纯虚数, 解得． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 16、 【答案解析】 先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积. 【题目详解】 解：,， , ， 设球O1的半径为，由题得， 所以棱柱的侧棱为. 由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为， 所以球的表面积为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值； （2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，，求出的范围，注意.进而求出周长的范围. 【题目详解】 解：（1） 整理得 解得或(舍去) 又 ； （2）由题意知 ， 又， ， 又 周长的取值范围是 【答案点睛】 本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题. 18、（1）；（2）极小值；（3）函数的零点个数为． 【答案解析】 （1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值； （3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数. 【题目详解】 （1）因为，所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线为； （2）因为，令，得或． 列表如下： 0 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以，当时，函数有极小值； （3）当时，，且． 由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为． 【答案点睛】 本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19、 (1)；(2). 【答案解析】 (1)根据条件形式选择，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出； (2)由(1)求出角，利用正弦定理和消元思想，可分别用角的三角函数值表示出， 即可得到，再利用三角恒等变换，化简为，即可求出最大值． 【题目详解】 (1)∵，即， ∴变形得：， 整理得：， 又，∴； (2)∵，∴， 由正弦定理知，， ∴ ，当且仅当时取最大值． 故的最大值为. 【答案点睛】 本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题 20、（Ⅰ）；（Ⅱ）3. 【答案解析】 （Ⅰ）先求导，得，已知导函数单调递增，又在区间上单调递增，故，令，求得，讨论得，而，故，进而得解； （Ⅱ）可通过必要性探路，当时，由知，又由于，则，当，，结合零点存在定理可判断必存在使得，得，，化简得，再由二次