2023学年黑龙江省高中名校高考冲刺模拟数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．是恒成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．展开项中的常数项为 A．1 B．11 C．-19 D．51 3．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 4．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（ ） A．20 B．30 C．50 D．60 5．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 7．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 9．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）. A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸 11．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A．69人 B．84人 C．108人 D．115人 12．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设函数，，其中．若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是_____． 14．在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 15．已知等差数列的前n项和为Sn，若，则____. 16．已知函数，则下列结论中正确的是_________.①是周期函数；②的对称轴方程为，；③在区间上为增函数；④方程在区间有6个根. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的坐标. 18．（12分）已知椭圆：（），与轴负半轴交于，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与椭圆交于，两点，连接，并延长交直线于，两点，已知，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 19．（12分）如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为斜边上一点.点为线段上一点，且. （1）证明：平面； （2）当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值. 20．（12分）已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由. 21．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设 成立；反之，满足 ，但，故选A. 2、B 【答案解析】 展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【题目详解】 展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即； （2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即； （3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即； 所以展开项中的常数项为，故选B. 【答案点睛】 本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的. 3、C 【答案解析】 化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由 得可判断④. 【题目详解】 由题意，，所以，故①正确； 为偶函数，故②错误；当 时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有 成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为 ，故④正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 4、D 【答案解析】 先设A点的坐标为，根据对称性可得，在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【题目详解】 由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得， 则的面积为， 当最大时，的面积最大， 由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大， 又由，可得椭圆的上下顶点坐标为， 所以的面积的最大值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用. 5、B 【答案解析】 先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【题目详解】 双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x， ∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍， ∴kl， ∴直线l的方程为y（x﹣c）， 与y＝±x联立，可得y或y， ∵， ∴2•， ∴ab， ∴c＝2b， ∴e． 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 6、A 【答案解析】 由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可. 【题目详解】 由已知，，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为， 所以圆心M到渐近线的距离为，故， 所以离心率为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题. 7、A 【答案解析】 试题分析：设公差为 或（舍），故选A. 考点：等差数列及其性质. 8、C 【答案解析】 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值. 【题目详解】 由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设.则. 故异面直线EF与BD所成角的余弦值为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9、A 【答案解析】 根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解. 【题目详解】 由得， 即，即， 因为，所以， 由余弦定理，所以， 由的面积公式得 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10、B 【答案解析】 试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 11、D 【答案解析】 先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数. 【题目详解】 在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，则，解得人. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题. 12、C 【答案解析】 根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值. 【题目详解】 因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称， 所以为上的奇函数. 由可得，故， 故是周期为4的周期函数. 因为， 所以. 因为，故， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【题目详解】 解：函数,且 画出的图象如下： 因为,且存在唯一的整数使得, 故与在时无交点, ,得； 又,过定点 又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以 , 存在唯一的整数使得 所以 .根据图像可知,当时, 恒成立. 综上所述, 存在唯一的整数使得,此时 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点右边的整数点中为满足条件的唯一整数,再数形结合列出时的不等式求的范围.属于难题. 14、 【答案解析】 根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值. 【题目详解】 根据题意画出几何图形，以为原点建立空间直角坐标系： 设正方体的棱长为1，则 所以 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题. 15、 【答案解析】 由，，成等差数列，代入可得的值. 【题目详解】 解：由等差数列的性质可得：，，成等差数列， 可得：，代入， 可得：， 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难. 16、①②④ 【答案解析】 由函数，对选项逐个验证即得答案. 【题目详解】 函数， 是周期函数，最小正周期为，故①正确； 当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即. 的对称轴方程为，，故②正确； 当时，，此时在上单调递减，在上