2023届上海市第三女子中学高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等差数列的前n项和为，且，，则( ) A．9 B．12 C． D． 2．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）． A． B． C．1 D． 3．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ） A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2 4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. A． B． C． D． 5．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为 A． B． C． D． 6．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ） A． B． C． D． 7．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行： 若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A．324 B．522 C．535 D．578 8．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（　　） A．1 B． C． D． 9．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 10．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A．48 B．60 C．72 D．120 11．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为 A．72 B．64 C．48 D．32 12．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数在上单调递增，则实数a值范围为_________. 14．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______． 15．已知正实数满足，则的最小值为 ． 16．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若，则的值为________________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点． （I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）； （II）设，若，，成等比数列，求的值． 18．（12分）已知，函数的最小值为1． （1）证明：． （2）若恒成立，求实数的最大值． 19．（12分）已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若，对，不等式恒成立，求的取值范围． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sinq. （1）求曲线C的普通方程； （2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标. 21．（12分）已知函数. （1）若曲线的切线方程为，求实数的值； （2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 22．（10分）已知数列和满足：. （1）求证:数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 由，可得以及，而，代入即可得到答案. 【题目详解】 设公差为d，则解得 ，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 2、B 【答案解析】 首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【题目详解】 解：根据三视图还原几何体如图所示， 所以，该四棱锥体的最长的棱长为． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 3、B 【答案解析】 将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【题目详解】 解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得： ，即， 当时，取到最大值2， 因为在上单调递增，则取到最大值. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,. 4、B 【答案解析】 如图，已知，，  ∴，解得 ， ∴，解得 . ∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B. 5、A 【答案解析】 作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果. 【题目详解】 如图，作交于点， 则，由题意，，，且， 所以 又，所以，，即， 所以本题答案为A. 【答案点睛】 本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 6、C 【答案解析】 由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得. 【题目详解】 由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：. 故选C. 【答案点睛】 本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般. 7、D 【答案解析】 因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【题目详解】 从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为: ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为，故第6个数据为578.选D. 【答案点睛】 本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键. 8、D 【答案解析】 根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【题目详解】 解：由， 得， ∵ ， ∴ ， 即 即， 则， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， 则， 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键． 9、A 【答案解析】 根据题意，，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围. 【题目详解】 已知与的图象有一个横坐标为的交点， 则， ， ，， ， 若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 则， 所以当时，， 在有且仅有5个零点， ， . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 10、A 【答案解析】 对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论 【题目详解】 数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位， 共有个 数字出现在第位时，同理也有个 数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位， 共有个 故满足条件的不同的五位数的个数是个 故选 【答案点睛】 本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。 11、B 【答案解析】 由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。 【题目详解】 由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥， 所以几何体的体积为，故选B。 【答案点睛】 本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。 12、A 【答案解析】 结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【题目详解】 由，则，所以；而 当，则，解得或.所以 “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【答案点睛】 本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由在上恒成立可求解． 【题目详解】 ， 令，∵，∴， 又，，从而，令， 问题等价于在时恒成立，∴，解得． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解． 14、 【答案解析】 先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果. 【题目详解】 由题意作出区域，如图中阴影部分所示， 易知，故 ，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为. 【答案点睛】 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 15、4 【答案解析】 由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【题目详解】 . 当且仅当时等号成立. 据此可知：的最小值为4. 【答案点睛】 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 16、 【答案解析】 根据三角函数定义表示出，由同角三角函数关系式结合求得，而，展开后即可由余弦差角公式求得的值. 【题目详解】 点在单位圆上，设， 由三角函数定义可知， 因为，则， 所以由同角三角函数关系式可得， 所以 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字