2023学年黑龙江哈师大附中高考数学五模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A．的值域是 B．是奇函数 C．是周期函数 D．是增函数 4．已知等差数列的前n项和为，，则 A．3 B．4 C．5 D．6 5．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A．12 B．16 C．20 D．8 7．已知，，若，则向量在向量方向的投影为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．设全集，集合，则＝( ) A． B． C． D． 10．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）. A． B．9 C．5 D． 11．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A．14种 B．15种 C．16种 D．18种 12．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的模是______. 14．已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______. 15．在的展开式中，的系数为________． 16．已知数列满足：点在直线上，若使、、构成等比数列，则______ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有． 18．（12分）已知不等式的解集为. （1）求实数的值； （2）已知存在实数使得恒成立，求实数的最大值. 19．（12分）已知等差数列满足，公差，等比数列满足，，． 求数列，的通项公式； 若数列满足，求的前项和． 20．（12分）已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值． 21．（12分）设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 22．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的周长. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有，利用古典概型求解即可. 【题目详解】 6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题. 2、D 【答案解析】 当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案. 【题目详解】 当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示： 方程，即，即函数和有两个交点. ，，故，，，，. 根据图像知：. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键. 3、C 【答案解析】 根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【题目详解】 由表示不超过的最大正整数，其函数图象为 选项A，函数，故错误； 选项B，函数为非奇非偶函数，故错误； 选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确； 选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误. 故选：C 【答案点睛】 本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 4、C 【答案解析】 方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C． 方法二：因为，所以，则.故选C． 5、D 【答案解析】 根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据 ，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论. 【题目详解】 依题意知，与为函数的“线性对称点”， 所以， 故（当且仅当时取等号）. 又与为函数的“线性对称点， 所以， 所以， 从而的最大值为. 故选:D. 【答案点睛】 本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题. 6、A 【答案解析】 先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【题目详解】 先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种. 故选：A 【答案点睛】 本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题. 7、B 【答案解析】 由，，，再由向量在向量方向的投影为化简运算即可 【题目详解】 ∵∴，∴， ∴向量在向量方向的投影为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查向量投影的几何意义，属于基础题 8、D 【答案解析】 先将所求问题转化为对任意恒成立，即得图象恒在函数 图象的上方，再利用数形结合即可解决. 【题目详解】 由得，由题意函数得图象恒在函数图象的上方， 作出函数的图象如图所示 过原点作函数的切线，设切点为，则，解得，所以切 线斜率为，所以，解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 9、A 【答案解析】 先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集. 【题目详解】 由解得，故，所以，故选A. 【答案点睛】 本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 10、A 【答案解析】 根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值. 【题目详解】 定点为, ， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值. 故选：A 【答案点睛】 本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型. 11、D 【答案解析】 采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起 【题目详解】 首先将黑球和白球排列好，再插入红球. 情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述，共有14+4=18种. 故选：D 【答案点睛】 本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 12、A 【答案解析】 求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【题目详解】 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A． 【答案点睛】 本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先求得复数，再由复数模的计算公式即得. 【题目详解】 ， ，则. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算和求复数的模，是基础题. 14、1 【答案解析】 试题分析：因为是等差数列，所以，即，又，所以， 所以．故答案为1． 【考点】等差数列的基本性质 【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用. 15、 【答案解析】 根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可. 【题目详解】 的展开式中， 所求项为：， 的系数为. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题. 16、13 【答案解析】 根据点在直线上可求得，由等比中项的定义可构造方程求得结果. 【题目详解】 在上，， 成等比数列，，即，解得：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析（2）（3）见解析 【答案解析】 （1）令可得，即．得到，再利用通项公式和前n项和的关系求解， （2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，再根据恰为与的等比中项求解， （3）由（2）得到时，， ，求得，再代入证明。 【题目详解】 （1）解：令可得，即．所以． 时，可得， 当时，所以． 显然当时，满足上式．所以． ，所以数列是等差数列， （2）由（1）知，． 设等比数列的公比为，所以 ， 恰为与的等比中项， 所以， 解得，所以 （3）时，，，而时，， ， 所以当时，. 当时，， ∴对任意，都有， 【答案点睛】 本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题， 18、（1）；（2）4 【答案解析】 （1）分类讨论，求解x的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解； （2）转化原不等式为：，利用均值不等式即得解. 【题目详解】 （1）当时不等式可化为 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为； 综上不等式的解集为. （2）由（1）有，， ， ， 即 而 当且仅当：，即，即时等号成立 ∴，综上实数最大值为4. 【答案点睛】 本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题