2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案双曲线高中数学.docx

8．2双曲线方程及性质 一、明确复习目标 1．掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质; 2．理解a,b,c,e,等参数的几何意义及关系． 二．建构知识网络 1．双曲线定义： (1)到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F1F2|〕的点的轨迹〔〔为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点 (2)动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线 M2 M11 P K2 K1 A1 A2 F2 F1 O y x 2．标准方程 ①－=1，c=，焦点是： F1〔－c，0〕，F2〔c，0〕 ②－=1，c=，焦点是： F1〔0，－c〕、F2〔0，c〕(图形略)． 3．双曲线的几何性质： ①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点; ④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; ⑦渐近线方程(以上可参见课本) ⑧焦准距；准线间距;通径长; ⑨焦半径公式中符号复杂：建议直接利用第二定义推算． 4．等轴双曲线，,a=b,离心率,两渐近线互相垂直，分别为y=; 5．共轭双曲线：有共同的渐近线,相等的焦半径． 6． 渐近线为即 的双曲线方程可设为(，焦点在x轴上，，焦点在y轴上〕 7．中结合定义与余弦定理可推得， 当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质〔略〕 8．从题型与与方法上本节将附带参数取值范围及最值问题,常用的方法有：Δ法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等． 三、双基题目练练手 1． (2023春上海)假设，那么“〞是“方程表示双曲线〞的( ) A．充分不必要条件． B．必要不充分条件． C．充要条件． D．既不充分也不必要条件． 2．(2023天津)如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是〔 〕 A． B． C． D． 3．〔2023浙江〕假设双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，那么( ) A． B． C． D． 4．(2023北京)双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，那么该双曲线的方程是〔 〕 A． B． C． D． 5．〔2023全国II〕设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，那么该椭圆的方程是 ． 6．(2023湖南)过双曲线的左顶点作斜率为1的直线, 假设与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 且, 那么双曲线的离心率是_______ 简答：1-3、ACCC； 5． ＋y2＝1； 6． ． 四、经典例题做一做 【例1】根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1) 与双曲线有共同渐近线，且过点； (2)双曲线的焦点在轴上，且过点和，P是双曲线上异于A、B的任一点，ΔAPB的垂心H总在此双曲线上。 【解】：〔1〕设所求双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为。 〔2〕设双曲线方程为为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条高，那么BN方程为 ① PM方程为 ② 又 ③ 得，又H在双曲线上，∴ ④ ∴，所以双曲线方程为． 【例2】中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。 (1) 求双曲线C的方程； (2) 假设直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。 解：〔Ⅰ〕设双曲线方程为 由得 故双曲线C的方程为 〔Ⅱ〕将 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① 设，那么 而 于是 ② 由①、②得 故k的取值范围为 提炼方法：求参数的取值范围是个综合性的问题,常用的方法有：Δ法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等． 【例3】 设点P到点M〔－1，0〕、N〔1，0〕距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围 分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围 解：设点P的坐标为〔x，y〕，依题意得=2， 即y=±2x〔x≠0〕 ① 因此，点P〔x，y〕、M〔－1，0〕、N〔1，0〕三点不共线， 从而得 ||PM|－|PN||<|MN|=2 ∵||PM|－|PN||=2|m|>0， ∴0<|m|<1 因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上 故－=1 ② 将①代入②，并解得x2=， ∵1－m2>0，∴1－5m2>0 解得0<|m|<， 即m的取值范围为〔－，0〕∪〔0，〕 解题点评：解决此题的关键是用好双曲线的定义,取值范围的求法是—— 【例4】双曲线的离心率，左，右焦点分别的为，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项。 【解】：设在左半支上存在点P，使，由双曲线的第二定义知，即 ① 再由双曲线的第一定义，得 ② 由①②，解得： 由在Δ中有 ， ③ 利用，从③式得 解得 ，与矛盾。 ∴符合条件的点P不存在。 思维点拨：利用定义及假设求出离心率的取值是关键。 【研讨．欣赏】〔2023黄冈调研〕椭圆C的方程为+=1〔a>b>0〕，双曲线－=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．〔如以以下图〕 〔1〕当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程； 〔2〕当=λ时，求λ的最大值． 剖析：〔1〕求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得=，由双曲线的焦距为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b． 〔2〕由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程．将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标．将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值． 解：〔1〕∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又<1， ∴∠POx=30°，即=tan30°=． ∴a=b． 又a2+b2=4， ∴a2=3，b2=1． 故椭圆C的方程为+y2=1． 〔2〕由l：y=〔x－c〕，与y=x解得P〔，〕， 由=λ得A〔，〕．代入椭圆方程得 〔c2+λa2〕2+λ2a4=〔1+λ〕2a2c2． ∴〔e2+λ〕2+λ2=e2〔1+λ〕2． ∴λ2==－［〔2－e2〕+］+3≤3－2． ∴λ的最大值为－1． 评述：此题考查了椭圆、双曲线的根底知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用．解决此题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想．此题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题． 五．提炼总结以为师 1．求双曲线的方程，常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别〞掌握； 〔1〕双曲线中的关系与椭圆中的关系是不同的，应注意区别； 〔2〕当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； 〔3〕渐近线的方程bx±ay=0，可设双曲线方程为b2x2－a2y2=λ〔λ≠0〕， 2．会利用方程求参数值和确定曲线的性质，利用曲线的范围、不等式、判别式、目标函数解参数范围或求最值。 3．解题中,应重视双曲线两种定义的灵活应用,减少运算量,值提高解题质量 4．应擅于将几何关系与代数关系相互转化,把平面解析几何问题与向量、平面几何、三角函数、函数、导数、不等式等有机结合相互转化;养成整体处理的习惯。 同步练习 8．2双曲线方程及性质 【选择题】 1．(2023全国卷II)双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，那么F1到直线F2M的距离为 〔 〕 A． B． C． D． 2．(2023湖南)双曲线－＝1〔a＞0，b＞0〕的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为〔O为原点〕，那么两条渐近线的夹角为〔 〕 A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º 3． (2023天津)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，那么双曲线的渐近线的斜率为 〔 〕 A． B． C． D． 【填空题】 4．(2023福建)F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，假设边MF1的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率是_____ 5．(2023山东)设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，那么双曲线的离心率e=________． 6．双曲线的方程是16x2－9y2=144,F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小 简答提示：1－3．CDC； 4． ； 5． ； 6． ||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2= == =0 ∴∠F1PF2=90° 【解答题】 7． 〔2023江苏〕三点P〔5，2〕、〔－6，0〕、〔6，0〕． 〔Ⅰ〕求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程； 〔Ⅱ〕设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。 解：(I〕由题意，可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0)， 其半焦距c=6 2=|PF1|+|PF2|=+=6 ∴=3，b2=a2-c2=45-36=9 所以所求椭圆的标准方程为 (II)点P(5,2)、F1(-6，0)、F2(6，0)关于直线y=x的对称点分别为P´(2,5)、F1´(0，-6)，F2´〔0，6〕 设所求双曲线的标准方程为(a1>0,b1>0)． 由题意知，半焦距c1=6， 2a1=||P´F1´|-|P´F2´||=|-|=4． ∴a1=2,b=c-a=36-20=16． 所以所求双曲线的标准方程为 8．双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|·|F1B|的最小值 解：设A(x1,y1),B(x2,y2), A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离d=|x1+|=x1+， 由双曲线的定义，=e=, ∴|AF1|=(x1+)=x1+2, 同理，|BF1|=x2+2, ∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1) 双曲线的右焦点为F2(,0), (1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─)， 由消去y得 (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0, ∴x1+x2=, x1x2= ─, 代入(1)整理得 |F1A|·|F1B|=+4=+4 =+4=+ ∴|F1A|·|F1B|>; (2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=, ∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|·|F1B|= 由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B| 取最大值 9． 椭圆具有性质：假设M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记