2023届兰州大学附属中学高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（ ） A． B． C． D．0 3．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ） A． B． C． D． 4．给出个数 ，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( ) A．； B．； C．； D．； 5．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( ) A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．的展开式中的系数为( ) A．－30 B．－40 C．40 D．50 8．已知函数满足=1，则等于（ ） A．- B． C．- D． 9．设是虚数单位，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 10．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（ ） A．年该工厂的棉签产量最少 B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显 C．三年累计下来产量最多的是口罩 D．口罩的产量逐年增加 11．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于（ ） A．2 B．1 C． D．0 12．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______． 14．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______. 15．若、满足约束条件，则的最小值为______. 16．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示： 不喜欢 喜欢 男性青年观众 40 10 女性青年观众 30 80 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且. （1）判断点是否在直线上？说明理由； （2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值. 18．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”． 女生 男生 总计 获奖 不获奖 总计 附表及公式： 其中,． 19．（12分）设函数 . (I)求的最小正周期； (II)若且，求的值. 20．（12分）已知函数（）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数的取值范围； （2）若有两个不同的极值点，，且，若不等式恒成立.求正实数的取值范围. 21．（12分）已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点. （Ⅰ）求点的轨迹的方程； （Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值. 22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，. （1）求cosC； （2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的. 【题目详解】 由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的； 对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数， 因为，则 又由，所以，即，所以②不正确； 对于③中，设函数，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，即，所以是正确的. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 2、B 【答案解析】 根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角. 【题目详解】 因为 即 而 所以夹角为 故选：B 【答案点睛】 本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 3、A 【答案解析】 根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解. 【题目详解】 当为奇数时，， 则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列， 当为偶数时，， 则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列. 所以 . 故选：A 【答案点睛】 本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题. 4、A 【答案解析】 要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②. 【题目详解】 因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A. 【答案点睛】 本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键. 5、C 【答案解析】 根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较. 【题目详解】 因为，且的图象经过第一、二、四象限， 所以，， 所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 所以， 又，， 则|， 即， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想. 6、A 【答案解析】 根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【题目详解】 当时，， 由在递增， 所以在递增 又是增函数， 所以在递增，故排除B、C 当时，若，则 所以在递减，而是增函数 所以在递减，所以A正确，D错误 故选：A 【答案点睛】 本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 7、C 【答案解析】 先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得. 【题目详解】 对二项式， 其通项公式为 的展开式中的系数 是展开式中的系数与的系数之和. 令，可得的系数为； 令，可得的系数为； 故的展开式中的系数为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题. 8、C 【答案解析】 设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得. 【题目详解】 解：设的最小正周期为，因为， 所以，所以， 所以， 又，所以当时，， ，因为 ， 整理得，因为， ， ，则 所以 　　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 9、C 【答案解析】 由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值. 【题目详解】 解：， ，解得：. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算. 10、C 【答案解析】 根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论. 【题目详解】 由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误； 由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 11、B 【答案解析】 先求出，再利用投影公式求解即可. 【题目详解】 解：由已知得， 由在方向上的投影为，得， 则. 故答案为：B. 【答案点睛】 本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题. 12、B 【答案解析】 设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【题目详解】 由题意设四面体的棱长为，设为的中点， 以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则可得，，取的三等分点、如图， 则，，，， 所以、、、、， 由题意设，， 和都是等边三角形，为的中点，，， ，平面，为平面的一个法向量， 因为与平面所成角为定值，则，