2023年大学高等数学竞赛训练微分方程.docx

天道酬勤 大学,高等数学,竞赛训练,微分方程 大学生数学竞赛训练五—微分方程 一、 〔15分〕设函数在上可导，且，对任给的满足等式 1〕求导数；2〕证明：当时，成立不等式：。 解：1〕设，那么有 当时有 两边关于求导得 解微分方程得 由条件可得，因此 2〕当时，，所以此时有；又因为，当时，，所以此时有，因此当时，有 二、 〔15分〕设微分方程的两个解满足求此微分方程的通解。 解：1〕如果为常数，那么有 因为，所以，由此可得，此时方程变为 令，那么有 2〕如果不是常数，那么有，代入原方程可得 〔1〕〔2〕由〔1〕、〔2〕可得 令，那么有，解得，，因为它们是线性无关的，所求通解为 三、 〔15分〕有一个攀岩爱好者要攀登一个外表为的山岩，在攀岩时他总是沿着最陡峭的路线攀登，他的出发点在山下的一点处，求他攀登的路线方程。 解：设所求曲线在面上的投影为，那么其切向量与函数的梯度平行，因此有 此为一阶齐次方程，解得，由可得，再由题意得到 所求曲线方程为。 四、 〔15分〕求方程的通解。 解：设，那么有，原方程化为 解得 五、 (15分)设，求在上的连续函数使得其在上满足方程 及初值条件。 解：解方程得 当时， 当时， 由的连续性可得，又因为可得，所求函数为 。 六、 〔15分〕二元函数有二阶连续的偏导数，并且满足 证明：。 证明：因为二元函数有二阶连续的偏导数，所以 由此可得。 七、