2023学年黑龙江省铁力市第一中学高考数学四模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面和直线a，b，则下列命题正确的是（ ） A．若∥，b∥，则∥ B．若，，则∥ C．若∥，，则 D．若，b∥，则 2．已知，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 4．已知满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ） A． B． C． D． 6．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A． B． C． D． 7．若复数是纯虚数，则( ) A．3 B．5 C． D． 8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A． B．4 C． D．5 9．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 10．已知复数满足：（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 11．若复数，则（ ） A． B． C． D．20 12．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ） A． B．4 C． D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________. 14．在平面直角坐标系中，已知点，，若圆上有且仅有一对点，使得的面积是的面积的2倍，则的值为_______. 15．在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为_________ 16．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为. (1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程； (2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值． 18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切． （1）求圆的方程； （2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆C：，椭圆E：（）的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切. （1）求椭圆E的方程； （2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当时，求直线l的方程. 20．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且. （1）求角的值； （2）若，且为锐角三角形，求的取值范围. 21．（12分）设函数 . (I)求的最小正周期； (II)若且，求的值. 22．（10分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，. （1）若，求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可. 【题目详解】 A：当时，也可以满足∥，b∥，故本命题不正确； B：当时，也可以满足，，故本命题不正确； C：根据平行线的性质可知：当∥，，时，能得到，故本命题是正确的； D：当时，也可以满足，b∥，故本命题不正确. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力. 2、D 【答案解析】 由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解. 【题目详解】 根据指数函数的图像与性质可知， 由对数函数的图像与性质可知，，所以最小； 而由对数换底公式化简可得 由基本不等式可知，代入上式可得 所以， 综上可知， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 3、A 【答案解析】 分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出. 详解：由题设有，故，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题. 4、C 【答案解析】 设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论. 【题目详解】 解：设，则的几何意义为点到点的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立； 取所有负值都成立； 当过点时，取正值中的最小值，，此时； 故的取值范围为； 故选：C. 【答案点睛】 本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在． 5、C 【答案解析】 由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案. 【题目详解】 解：由题意知：，，设，则 在中，列勾股方程得：，解得 所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为 故选C. 【答案点睛】 本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题. 6、C 【答案解析】 令圆的半径为1，则，故选C． 7、C 【答案解析】 先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可 【题目详解】 由z是纯虚数，得且，所以，. 因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 8、B 【答案解析】 还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【题目详解】 如图，三棱锥的直观图为，体积 . 故选:B. 【答案点睛】 本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 9、C 【答案解析】 试题分析：画出截面图形如图 显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C． 考点：平面的基本性质及推论． 10、A 【答案解析】 利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解. 【题目详解】 由，则， 所以. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题. 11、B 【答案解析】 化简得到，再计算模长得到答案. 【题目详解】 ，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 12、D 【答案解析】 由得，又，两式相除即可解出． 【题目详解】 解：由得， 又， ∴，∴，或， 又正项等比数列得， ∴， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程. 【题目详解】 设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图 则，所以，，解得， 所以，，， 由，得，解得. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题. 14、 【答案解析】 写出所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于的等式，求解得答案． 【题目详解】 解：直线的方程为，即． 圆的圆心 到直线的距离， 由的面积是的面积的2倍的点，有且仅有一对， 可得点到的距离是点到直线的距离的2倍， 可得过圆的圆心，如图： 由，解得． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 15、 【答案解析】 利用直线与圆相切求出斜率，得到直线的方程，几何法求出 【题目详解】 解：直线与圆相切，圆心为 由，得或， 当时，到直线的距离，不成立， 当时，与圆相交于，两点，到直线的距离， 故答案为． 【答案点睛】 考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题． 16、 【答案解析】 试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为. 考点：余弦定理及等比数列的定义. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果 试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0 又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5； （Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程， 得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0 设t1，t2是上述方程的两实数根， 所以t1+t2=3 又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2， 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3． 18、（2）（x﹣2）2+y2＝2．（2）（）．（3）存在， 【答案解析】 （2）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案. （2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0得到答案. （3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（2，0），计算得到答案. 【题目详解】 （2）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5， 所以 ，即|4m﹣29|＝2．因为m为整数，故m＝2． 故所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝2． （2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y， 整理得（a2+2）x2+2（5a﹣2）x+2＝0， 由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0， 即22a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）． （3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为， l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0， 由于l