2023学年高考数学大二轮复习大题专项练三立体几何2.docx

大题专项练(三)立体几何A组基础通关1.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP.(1)证明:平面ACD⊥平面BDP;(2)若BD=√6,且二面角A-BD-C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.(1)证明因为△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,所以Rt△ABD≌Rt△CBD,可得AD=CD.因为点P是AC的中点,则PD⊥AC,PB⊥AC,因为PD∩PB=P,PD⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD.因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDP.(2)解方法一:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD,所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120°,知∠AEC=120°.在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=√3AE,1因为△ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=√3AE.在Rt△ABD中,有12AE·BD=1...