2023学年高考数学大二轮复习能力升级练六解三角形理2.docx

能力升级练(六)　解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=(　　) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7, 由余弦定理,得cos∠BAC=b2+c2-a22bc=9+25-4930=-12,由A∈(0,π),得A=2π3,即∠BAC=23π. 答案C 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,则b=(　　) A.2 B.3 C.2 D.3 解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×23,解得b=3,或b=-13(舍去). 答案D 3.已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=π3,b=2acos B,c=1,则△ABC的面积等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.32 B.34 C.36 D.38 解析由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sinπ3=3,又B∈(0,π),所以B=π3,则△ABC是正三角形,所以S△ABC=12bcsinA=34. 答案B 4.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是(　　) A.等边三角形 B.不含60°的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 解析sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,则有A+B=π2,故三角形为直角三角形. 答案D 5.(2023广东深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为(　　) A.4003 m B.40033 m C.20033 m D.2003 m 解析如图所示.在Rt△ACD中可得CD=20033=BE,在△ABE中,由正弦定理得ABsin30°=BEsin60°,则AB=2003,所以DE=BC=200-2003=4003(m). 答案A 6.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析因为cos2B2=a+c2c,所以2cos2B2-1=a+cc-1,所以cosB=ac,所以a2+c2-b22ac=ac,所以c2=a2+b2. 所以△ABC为直角三角形. 答案B 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为(　　) A.33 B.233 C.36 D.433 解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC, 易知sinBsinC≠0,∴sinA=12. 又b2+c2-a2=8,∴cosA=b2+c2-a22bc=4bc, 则cosA>0. ∴cosA=32,即4bc=32,则bc=833. ∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×833×12=233. 答案B 8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　) A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里 解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理,得BCsin30°=ABsin45°,解得BC=102(海里). 答案A 9.(2023山东济宁模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π3,3sin2CcosC=2sin Asin B,且b=6,则c=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析在△ABC中,A=π3,b=6, ∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,① 又3sin2CcosC=2sinAsinB,∴3c2cosC=2ab, 即cosC=3c22ab=a2+b2-c22ab,∴a2+36=4c2,② 由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4. 答案C 二、填空题 10. 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为　　　　　米.  解析连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=507. 答案507 11.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,且A-C=90°,则cos B=　　　　　.  解析∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c, ∴2sinB=sinA+sinC. ∵A-C=90°,∴2sinB=sin(90°+C)+sinC, ∴2sinB=cosC+sinC, ∴2sinB=2sin(C+45°).① ∵A+B+C=180°且A-C=90°,∴C=45°-B2,代入①式中,2sinB=2sin90°-B2, ∴2sinB=2cosB2, ∴4sinB2cosB2=2cosB2,∴sinB2=24, ∴cosB=1-2sin2B2=1-14=34. 答案34 12. 如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=　　　　　.  解析在△ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-252×7×3=1114,则sinC=5314. 在△ABC中,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB, 则AB=ACsinCsinB=7×531422=562. 答案562 13.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若sinAsinB=5c2b,sin B=74,S△ABC=574,则b的值为　　　　　.  解析由sinAsinB=5c2b及正弦定理,得ab=5c2b,即a=52c,① 由S△ABC=12acsinB=574,sinB=74,得12ac=5,② 联立①②,得a=5,c=2. 由sinB=74且B为锐角,得cosB=34,由余弦定理,得b2=25+4-2×5×2×34=14,b=14. 答案14 三、解答题 14. 如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为多少米?(取2≈1.4,3≈1.7) 解 如图,作CD垂直于线段AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°, 所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m). 又在△ABC中,BCsinA=ABsin∠ACB, 所以BC=2100012×sin15°=10500(6-2). 因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC =10500(6-2)×22=10500(3-1) ≈7350(m). 故山顶的海拔高度为10000-7350=2650(m). 15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0. (1)若B=π6,求A,C; (2)若C=2π3,c=14,求S△ABC. 解(1)由已知B=π6,a2-ab-2b2=0结合正弦定理,得sin2A-sinAsinπ6-2sin2π6=0,化简整理,得2sin2A-sinA-1=0, 于是sinA=1或sinA=-12(舍). 因为0<A<π,所以A=π2, 又A+B+C=π,所以C=π-π2-π6=π3. (2)由题意及余弦定理可知a2+b2-2abcos2π3=196,即a2+b2+ab=196,① 由a2-ab-2b2=0,得(a+b)(a-2b)=0, 因为a+b>0, 所以a-2b=0,即a=2b,② 联立①②解得b=27,a=47. 所以S△ABC=12absinC=143. 9