2023学年高考数学大二轮复习能力升级练二十三函数与方程思想理2.docx

能力升级练(二十三)　函数与方程思想 一、选择题 1.若2x+5y≤2-y+5-x,则有(　　) A.x+y≥0 B.x+y≤0 C.x-y≤0 D.x-y≥0 解析把不等式变形为2x-5-x≤2-y-5y,构造函数y=2x-5-x,其为R上的增函数,所以有x≤-y. 答案B 2.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(　　) A.52 B.46+2 C.7+2 D.62 解析设Q(x,y), 则该点到圆心的距离d=(x-0)2+(y-6)2 =x2+(y-6)2=10(1-y2)+(y-6)2 =-9y2-12y+46,y∈[-1,1], ∴当y=--122×(-9)=-23时, dmax=-9×-232-12×-23+46 =50=52. ∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmax+r=52+2=62.故选D. 答案D 3.若a>1,则双曲线x2a2-y2(a+1)2=1的离心率e的取值范围是(　　) A.(1,2) B.(2,5) C.[2,5] D.(3,5) 解析e2=ca2=a2+(a+1)2a2=1+1+1a2,因为当a>1时,0<1a<1,所以2<e2<5, 即2<e<5. 答案B 4.已知函数f(x)=13x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,则an的最小值为(　　) A.-1 B.1 C.23 D.-23 解析由题设,得a1=f(1)-c=13-c; a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-29; a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-227. 又数列{an}是等比数列, ∴-292=13-c×-227,∴c=1. 又∵公比q=a3a2=13, ∴an=-2313n-1=-213n,n∈N*, 且数列{an}是递增数列,∴n=1时,an有最小值a1=-23. 答案D 5. 如图,A是单位圆与x轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),OQ=OA+OP,四边形OAQP的面积为S,当OA·OP+S取得最大值时θ的值为(　　) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析OA·OP+S=|OA|·|OP|cosθ+|OA|·|OP|sinθ=cosθ+sinθ=2sinθ+π4,当θ=π4时,OA·OP+S取得最大值.故选B. 答案B 二、填空题 6.若方程sin2x+2sin x+a=0有解,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析令f(x)=sin2x+2sinx,则f(x)的值域是[-1,3],因为方程sin2x+2sinx+a=0有解,所以-1≤-a≤3,所以实数a的取值范围是[-3,1]. 答案[-3,1] 7.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是　　　　　.  解析因为a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4,得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得q2=2,a6=a2q4=1×22=4. 答案4 8.设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为　　　　　.  解析设点B的坐标为(x0,y0), ∵x2+y2b2=1,且0<b<1, ∴F1(-1-b2,0),F2(1-b2,0). ∵AF2⊥x轴,∴A(1-b2,b2). ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B, ∴(-21-b2,-b2)=3(x0+1-b2,y0). ∴x0=-531-b2,y0=-b23. ∴点B的坐标为-531-b2,-b23. 将点B-531-b2,-b23代入x2+y2b2=1,得b2=23. ∴椭圆E的方程为x2+32y2=1. 答案x2+32y2=1 9.设不等式2x-1>m(x2-1)对满足m∈[-2,2]的一切实数m都成立,则x的取值范围是　　　　　.  解析设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则不等式2x-1>m(x2-1)恒成立⇔f(m)<0恒成立. ∴在-2≤m≤2时,f(m)<0⇔f(2)=2(x2-1)-(2x-1)<0,f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)<0, 解得7-12<x<3+12. 答案7-12,3+12 10.长度都为2的向量OA,OB的夹角为60°,点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上,OC=mOA+nOB,则m+n的最大值是　　　　　.  解析建立平面直角坐标系,设向量OA=(2,0),向量OB=(1,3).设向量OC=(2cosα,2sinα),0≤α≤π3. 由OC=mOA+nOB,得(2cosα,2sinα)=(2m+n,3n), 即2cosα=2m+n,2sinα=3n, 解得m=cosα-13sinα,n=23sinα. 故m+n=cosα+13sinα=233sinα+π3∈1,233. 答案233 三、解答题 11. 如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右顶点为A,B,左、右焦点为F1,F2,|AB|=4,|F1F2|=23.直线y=kx+m(k>0)交椭圆E于C,D两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M,N两点(M,N不重合),且|CM|=|DN|. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围. 解(1)因为2a=4,2c=23, 所以a=2,c=3,所以b=1. 所以椭圆E的方程为x24+y2=1. (2)直线y=kx+m(k>0)与椭圆联立,可得(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0. 设D(x1,y1),C(x2,y2), 则x1+x2=-8mk4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1, 又M-mk,0,N(0,m), 由|CM|=|DN|得x1+x2=xM+xN, 所以-8mk4k2+1=-mk,所以k=12(k>0). 所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. 所以-3≤-2m≤3且m≠0, 所以k1k22=y1(x2-2)y2(x1+2)2 =(2-x1)(2-x2)(2+x2)(2+x1)=4-2(x1+x2)+x1x24+2(x1+x2)+x1x2 =4-2·(-2m)+2m2-24+2·(-2m)+2m2-2=(m+1)2(m-1)2, 所以k1k2=1+m1-m=-1-2m-1. 又因为k1k2=-1-2m-1在-32,0∪0,32上单调递增, 所以7-43=1-321+32≤1+m1-m≤1+321-32=7+43,且1+m1-m≠1, 即7-43≤k1k2≤7+43,且k1k2≠1,所以k1k2∈[7-43,1)∪(1,7+43]. 7