2023学年高考数学大二轮复习能力升级练二十圆锥曲线综合问题2理2.docx

能力升级练(二十)圆锥曲线综合问题(2)1.(2023广西南宁市第三中学、柳州市高级中学联考)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点为A1,A2,B1,B2,左右焦点分别为F1,F2,|A1B1|=❑√3,S▱A1B1A2B2=❑√2S▱B1F1B2F2.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,试探究在x轴上是否存在定点Q,使得⃗QA·⃗QB为定值?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)由|A1B1|=❑√3,得a2+b2=3.①由S▱A1B1A2B2=❑√2S▱B1F1B2F2,得12·2a·2b=❑√22·2c·2b,即a=❑√2c,②又a2-b2=c2,③由①②③,得a2=2,b2=1,∴椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)①当直线l的斜率不为0或不存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,0),直线l的方程为x=my+1,由{x=my+1,x22+y2=1,得(m2+2)y2+2my-1=0,1∴{y1+y2=-2mm2+2,y1·y2=-1m2+2.∴⃗QA·⃗...