2023学年高考数学复习专题一高频客观命题点1.4平面向量练习理2.docx

1.4　平面向量 命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理　 高考真题体验·对方向 1.(2023全国Ⅰ·6)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(　　) A.34AB-14AC B.14AB-34AC C.34AB+14AC D.14AB+34AC 答案　 A 解析　如图,EB=-BE =-12(BA+BD) =12AB-14BC =12AB-14(AC-AB) =34AB-14AC. 2.(2017全国Ⅲ·12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为(　　) A.3 B.22 C.5 D.2 答案　A 解析　建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC|·|CD||BD|=2×15=255, 即圆的方程是(x-2)2+y2=45. 易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0). 由AP=λAB+μAD, 得x=2μ,y-1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y, 所以λ+μ=12x-y+1. 设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0. 因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上, 所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r, 即|2-z|14+1≤255,解得1≤z≤3, 所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A. 3.(2015全国Ⅰ·7)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　) A.AD=-13AB+43AC B.AD=13AB-43AC C.AD=43AB+13AC D.AD=43AB-13AC 答案　A 解析　如图: ∵AD=AB+BD,BC=3CD, ∴AD=AB+43BC=AB+43(AC-AB) =-13AB+43AC. 4.(2015全国Ⅱ·13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　　.  答案　12 解析　由题意知存在常数t∈R,使λa+b=t(a+2b),得λ=t,1=2t,解之得λ=12. 典题演练提能·刷高分 1.已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,则实数λ的值为(　　) A.5 B.3 C.2.5 D.2 答案　C 解析　∵向量m=4a+5b与n=2a+λb共线, ∴存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb), 又向量a,b互相垂直,故a,b不共线. ∴2t=4,tλ=5,解得t=2,λ=52.故选C. 2.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设AB=a,AD=b,则向量BF=(　　) A.13a+23b B.-13a-23b C.-13a+23b D.13a-23b 答案　C 解析　BF=23BE=23(BC+CE)=23(b-12a)=-13a+23b,故选C. 3.(2023宁夏平罗中学高三期中)已知数列{an}是正项等差数列,在△ABC中,BD=tBC(t∈R),若AD=a3AB+a5AC,则a3a5的最大值为(　　) A.1 B.12 C.14 D.18 答案　C 解析　∵BD=tBC,故B,C,D三点共线. ∵AD=a3AB+a5AC, ∴a3+a5=1,数列{an}是正项等差数列, 故a3>0,a5>0, ∴1=a3+a5≥2a3a5,解得a3a5≤14,故选C. 4.(2023山东实验中学等四校高三联考)如图Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,设AB=a,AC=b,则向量AD=(　　) A.a+b B.12a+b C.a+12b D.a+23b 答案　C 解析　设圆的半径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,则根据圆的性质有BD=CD=AB.又因为在Rt△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,所以AD=AB+AO=a+12b.故选C. 5.已知在△ABC中,D为边BC上的点,且BD=3DC,点E为AD的中点,BE=mAB+nAC,则m+n=　　　　.  答案　-12 解析　如图所示, BE=BD+DE=BD-12AD =BD-12(AB+BD)=12BD-12AB =12·34BC-12AB=38BC-12AB =38(AC-AB)-12AB=-78AB+38AC. 又BE=mAB+nAC, 所以mAB+nAC=-78AB+38AC, 所以m+78AB+n-38AC=0. 又因为AB与AC不共线, 所以m=-78,n=38,所以m+n=-12. 6. 在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使OP=(1-t)OQ+tOR.试利用该定理解答下列问题:如图,在△ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设AM=xAE+yAF,则x+y=　　　　　　　.  答案　75 解析　∵B,M,F三点共线, ∴存在实数t,使得AM=(1-t)AB+tAF, 又AB=2AE,AF=13AC, ∴AM=2(1-t)AE+13tAC, 又E,M,C三点共线, ∴2(1-t)+13t=1,解得t=35. ∴AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF, ∴x=45,y=35,x+y=75. 命题角度2平面向量的坐标运算　 高考真题体验·对方向 1.(2023全国Ⅱ·3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案　C 解析　由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C. 2.(2016全国Ⅲ·3)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则∠ABC=(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案　A 解析　由题意得 cos∠ABC=BA·BC|BA||BC|=12×32+32×121×1=32, 所以∠ABC=30°,故选A. 3.(2023全国Ⅲ·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　　.  答案　12 解析　2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ), 由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12. 4.(2016全国Ⅰ·13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　　.  答案　-2 解析　∵|a+b|2=|a|2+|b|2, ∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2. 典题演练提能·刷高分 1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),则t=(　　) A.0 B.12 C.-2 D.-3 答案　C 解析　因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),∴t=-2,故选C. 2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若b⊥c,则实数t=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.2 答案　A 解析　由题意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t), ∵b⊥c,∴b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0, 解得t=1.故选A. 3.已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,则|c|=(　　) A.26 B.32 C.10 D.6 答案　B 解析　∵a=(1,2),b=(-1,1),∴c=2a-b=(3,3), ∴|c|=9+9=32,故选B. 4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=λb+μc,则λμ=　　　　.  答案　-3 解析　由a=λb+μc可知(-1,1)=λ(2,-1)+μ(1,2)=(2λ+μ,-λ+2μ), ∴2λ+μ=-1,-λ+2μ=1,解得λ=-35,μ=15,∴λμ=-3. 5.向量BA=(1,2),CA∥BA,且|CA|=25,则BC的坐标为　　　　　　.  答案　(3,6)或(-1,-2) 解析　∵CA∥BA,∴CA=tBA=(t,2t). 又|CA|=25,∴t2+4t2=5t2=20,解得t=±2. 当t=2时,BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2); 当t=-2时,BC=BA+AC=(1,2)+(2,4)=(3,6). 命题角度3计算平面向量的数量积　 高考真题体验·对方向 1.(2023全国Ⅱ·4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 答案　B 解析　a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3. 2.(2023全国Ⅰ·8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM·FN=(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　D 解析　易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4. 不妨设M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FM·FN=8. 3.(2017全国Ⅱ·12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是(　　) A.-2 B.-32 C.-43 D.-1 答案　B 解析　 以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图. 可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0). 设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y). 所以PB+PC=(-2x,-2y). 所以PA·(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32≥-32. 当点P的坐标为0,32时,PA·(PB+PC)取得最小值为-32,故选B. 4.(2016天津·7)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为(　　) A.-58 B.18 C.14 D.118 答案　B 解析　设BA=a,BC=b,则DE=12AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-54a+34b.故AF·BC=-54a·b+34b2=-58+34=18,应选B. 5.(2017天津·13)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为　　　　　.  答案　311 解析　∵BD=2DC,∴AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB. 又AE=λAC-AB,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD·AE=-4. ∴AB·AC=3×2×12=3,23AC+13AB·(λAC-AB)=-4, 即2λ3AC2-13AB2+λ