2023学年高考数学大二轮复习大题专项练四概率与统计2.docx

大题专项练(四)　概率与统计 A组　基础通关 1.袋子里有除颜色外完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球. (1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率; (2)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分,求得分ξ的分布列和数学期望. 解(1)从袋子里有放回地取3次球,相当于做了3次独立重复试验,每次试验取出红球的概率为37,取出黑球的概率为47,设事件A=“取出2个红球1个黑球”,则P(A)=C3237247=3×949×47=108343. (2)ξ的取值可以是3,4,5,6. P(ξ=3)=C30C43C73=435,P(ξ=4)=C31C42C73=1835, P(ξ=5)=C32C41C73=1235,P(ξ=6)=C33C40C73=135. ξ 3 4 5 6 P 435 1835 1235 135 　　从而得分ξ的数学期望Eξ=3×435+4×1835+5×1235+6×135=307. 2.为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析,结果如表:(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”) 分数 [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120) [120, 130) [130, 140) [140, 150] 甲班频数 1 1 4 5 4 3 2 乙班频数 0 1 1 2 6 6 4 (1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”? 甲班 乙班 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 (2)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取3人进行考核,记“成绩不优秀”的乙班人数为X,求X的分布列和期望. 参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. 临界值表 P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 解(1)补充的2×2列联表如下表: 甲班 乙班 总计 成绩优秀 9 16 25 成绩不优秀 11 4 15 总计 20 20 40 　　根据2×2列联表中的数据,得K2的观测值为k=40(9×4-16×11)225×15×20×20≈5.227>3.841, 所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. (2)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=C113C153=165455=3391, P(X=1)=C112C41C153=220455=4491, P(X=2)=C111C42C153=66455, P(X=3)=C43C153=4455, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 3391 4491 66455 4455 　　E(X)=0×3391+1×4491+2×66455+3×4455=45. 3.自来水公司对某镇居民用水情况进行调查,从该镇居民中随机抽取50户作为样本,得到他们10月份的用水量(单位:吨),用水量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的用水量频率分布直方图如图. (1)求a的值,并根据样本数据,试估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值; (2)以样本的频率作为概率,从该镇居民中随机抽取3户,其中10月份用水量在[5,15]内的用户数为X,求X的分布列和数学期望. 解(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03. 由最高矩形中点的横坐标为20,可估计该镇居民10月份用水量的众数为20吨. 50户居民10月份用水量的平均值x=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(吨), 故估计该镇居民10月份用水量的平均值为24.6吨. (2)利用样本估计总体,该镇居民10月份用水量在[5,15]内的概率为0.2, 则X~B3,15,X=0,1,2,3. P(X=0)=C30×453=64125; P(X=1)=C31×452×15=48125; P(X=2)=C32×45×152=12125; P(X=3)=C33×153=1125. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 　　∴E(X)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35. 4.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪80元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成6元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表: 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 (1)现从甲公司记录的50天中随机抽取3天,求这3天送餐单数都不小于40的概率; (2)若将频率视为概率,回答下列两个问题: ①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望; ②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由. 解(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M,则P(M)=C253C503=23196. (2)①设乙公司送餐员送餐单数为a, 则当a=38时,X=38×6=228,当a=39时,X=39×6=234,当a=40时,X=40×6=240,当a=41时,X=40×6+1×7=247,当a=42时,X=40×6+2×7=254. 所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.故X的分布列为: X 228 234 240 247 254 P 110 15 15 25 110 　　所以E(X)=228×110+234×15+240×15+247×25+254×110=241.8. ②依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7, 所以甲公司送餐员日平均工资为80+4×39.7=238.8元. 由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为238.8<241.8,故推荐小王去乙公司应聘. 5.为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”(单位:天),某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了80名青年学生(其中男女人数各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组青年学生的月“关注度”分为6组:[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30],得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)现从“关注度”在[25,30]的男生与女生中选取3人,设这3人来自男生的人数为ξ,求ξ的分布列与期望; (3)在抽取的80名青年学生中,从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人,求至少抽取到1名女生的概率. 解(1)a=1-(0.01+0.01+0.03+0.08+0.02)×55=1-0.15×55=0.05. (2)从频率分布直方图可知在[25,30]内的男生人数为0.02×5×40=4(人),女生人数为0.01×5×40=2(人),男女生共6人,因此ξ的取值可以为1,2,3, 故P(ξ=1)=C41C22C63=15, P(ξ=2)=C42C21C63=35, P(ξ=3)=C43C20C63=15. 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 15 35 15 　　数学期望E(ξ)=1×15+2×35+3×15=1+6+35=2. (3)记“在抽取的80名青年学生中,从月‘关注度’不少于25天的人中随机抽取2人,至少抽到1名女生”为事件A,月“关注度”不少于25天即在[25,30]内的女生人数为2,月“关注度”不少于25天即在[25,30]内的男生人数为4,则在抽取的80名学生中,共有6人月“关注度”不少于25天,从中随机抽取2人,所有可能的结果有C62=15(种),而事件A包含的结果有C21C41+C22=9(种), 所以P(A)=915=35. 6.某理财公司有两种理财产品A和B,这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立): 产品A 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 13 12 16 产品B 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 p 13 q 注:p>0,q>0 (1)已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于35,求实数p的取值范围; (2)若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资,以一年后投资收益的期望值为决策依据,则选用哪种产品投资较理想? 解(1)记事件A为“甲选择产品A且盈利”,事件B为“乙选择产品B且盈利”,事件C为“一年后甲,乙两人中至少有一人投资获利”,则P(A)=23,P(B)=1-p. 所以P(C)=1-P(AB)=1-23(1-p)=13+2p3>35,解得p>25.又因为p+13+q=1,q>0,所以p<23. 所以25<p<23. (2)假设丙选择产品A进行投资,且记X为获利金额(单位:万元),则随机变量X的分布列为 X 4 0 -2 P 13 12 16 　　则E(X)=4×13+0×12+(-2)×16=1. 假设丙选择产品B进行投资,且记Y为获利金额(单位:万元),则随机变量Y的分布列为 Y 2 0 -1 P p 13 q 　　则E(Y)=2×p+0×13+(-1)×q=2p-q=2p-23-p=3p-230<p<23. 讨论: 当p=59时,E(X)=E(Y),选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同,可以在产品A和产品B中任选一个; 当0<p<59时,E(X)>E(Y),选择产品A一年后投资收益的数学期望较大,应选产品A; 当59<p<23时,E(X)<E(Y),选择产品B一年后投资收益的数学期望较大,应选产品B. B组　能力提升 7.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定,交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是保费浮动机制,保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表: 交强险浮动因素和浮动费率比率表 投保类型 浮动因素 浮动比率 A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30% A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5