2023学年高考数学一轮复习课时作业73不等式的证明理.doc

课时作业73　不等式的证明 [基础达标] 1．[2023年·江苏卷]若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值． 证明：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2. 因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4， 当且仅当＝＝时，等号成立， 此时x＝，y＝，z＝， 所以x2＋y2＋z2的最小值为4. 2．[2023年·河北省“五个一名校联盟”高三考试]已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R. (1)解不等式f(x)<|x|＋1； (2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1. 解析：(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1， 即或 或 得≤x<2或0<x<或无解． 故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0<x<2}． (2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×＋＝<1. 3．[2023年·湖南衡阳八中模考]已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|. (1)解不等式f(x)≤3； (2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥＋3t. 解析：(1)依题意，得f(x)＝ 于是f(x)≤3⇔或或 解得－1≤x≤1. 即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2)g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3， 当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时，取等号，∴M＝[3，＋∞)． 要证t2＋1≥＋3t，即证t2－3t＋1－≥0. 而t2－3t＋1－＝＝. ∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1＞0，∴≥0. ∴t2＋1≥＋3t. 4．[2023年·大理模拟]已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|. (1)解关于x的不等式f(x)－5≥x； (2)设m，n∈{y|y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小． 解析：(1)f(x)＝|x|＋|x－3|＝ f(x)－5≥x，即或 或 解得x≤－或x∈∅或x≥8， 所以不等式的解集为∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3. 由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n) 且m≥3，n≥3，所以m－2>0,2－n<0， 即(m－2)(2－n)<0， 所以2(m＋n)<mn＋4. 5．[2023年·福州市质量检测]已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|＜4的解集为M. (1)求集合M； (2)设实数a∈M，b∉M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|. 解析：(1)当x＜－时，不等式化为：－2x－1＋1－2x＜4，即x＞－1， 所以－1＜x＜－； 当－≤x≤时，不等式化为：2x＋1－2x＋1＜4，即2＜4， 所以－≤x≤； 当x＞时，不等式化为：2x＋1＋2x－1＜4，即x＜1， 所以＜x＜1， 综上可知，M＝{x|－1＜x＜1}． (2)方法一：因为a∈M，b∉M，所以|a|＜1，|b|≥1. 而|ab|＋1－(|a|＋|b|) ＝|ab|＋1－|a|－|b| ＝(|a|－1)(|b|－1)≤0， 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|. 方法二：要证|ab|＋1≤|a|＋|b|， 只需证|a||b|＋1－|a|－|b|≤0， 只需证(|a|－1)(|b|－1)≤0， 因为a∈M，b∉M，所以|a|＜1，|b|≥1， 所以(|a|－1)(|b|－1)≤0成立． 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|成立． 6．[2023年·开封市定位考试]已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－m|(m＞1)，若f(x)＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}． (1)求m的值； (2)若正实数a，b，c满足＋＋＝，求证：a＋2b＋3c≥9. 解析：(1)∵m＞1，∴f(x)＝ 作出函数f(x)的图象如图所示， 由f(x)＞4的解集及函数f(x)的图象得，得m＝3. (2)由(1)知m＝3，从而＋＋＝1， a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋≥9，当且仅当a＝3，b＝，c＝1时“＝”成立． [能力挑战] 7．[2023年·全国卷Ⅲ]设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1. 解析：(1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2 ＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)] ≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]， 故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立． 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为. (2)由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2 ＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)] ≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]， 故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立． 因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为. 由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1. 4