2023年九级数学上册一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系学案青岛版.docx

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系 一、知识要点： 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 是用来判别一元二次方程根的情况的；即方程有 的实数根；方程有 的实数根；方程 无实数根。 2、（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。 （2）以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 。 二、典例精析： 一元二次方程根的判别式 [根底知识] 例1、不解方程，判断关于x的方程(6m-1)x2+6mx+2=0的根的情况。 [跟踪练习] 1、不解方程判断以下方程的根的情况 （1）2x2+3x-4=0 （2）3x2+x+5=0 （4）7x2+(m+5)x+m-6=0 例2、假设关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。 [跟踪练习] 关于x的方程(m-1)x2+2(m+2)x+m=0，根据以下条件求实数m的取值范围： （1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）有两个实数根； （4）没有实数根； （5）有实数根。 [拓展研究] 例3、：方程x2-2ax+a2-a-1=0有两个实数根，化简。 [跟踪练习] 关于x的方程有两个不相等的实数根。 （1）求m的取值范围； （2）化简。 例4、a、b、c分别为△ABC三条边的长，并且关于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根，当∠B=90o时试判断△ABC的形状。 例5、x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必定有两个不相等的实数根。 同步练习：（中考链接） 1、（2023上海金山）以下一元二次方程没有实数解的是（ ） A、x2-2x-1=0 B、(x-1)(x-3)=0 C、x2-2=0 D、x2+x+1=0 2、（2023四川）关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（ ） A、-2 B、-1 C、0 D、1 3、（2023北京石景山）假设关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实数根，那么a的值是 。 4、（2023天津）关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 。 5、（2023浙江宁波）：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0 （1）当m取何值时，方程有两个实数根； （2）当m选取一个适宜的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根。 一元二次方程根与系数的关系 例1、设x1，x2是方程x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系求以下各式的值。 （1）x1+x2 （2）x1x2 （3）x12+x22 （4） （5）|x1-x2| [跟踪练习] 假设方程2x2-2x-1=0的两根为α、β，不解方程，求①α+β= ，②αβ= ，③α2+β2= ，④= ，⑤（α-1）（β-1）= 。 例2、方程2x2+kx-8=0的一个根是，求另一个根及k的值。 [跟踪练习] 一元二次方程x2+4x-m=0的一个根为，那么另一个根是 ，且m= 。 例3、关于x的方程2x2-mx-2m+1=0的两个实数的平方和等于，求m的值。 [跟踪练习] 1、（2023重庆市）关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x-m2=0的两个不相等的实数根为α、β，满足，求m的值。 2、方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根且这两个实数根的平方和比两个实数根的积大21，求m的值。 例4、一元二次方程的根为3，-4，求这个方程。 [跟踪练习] 一元二次方程的根为-1，2，求这个方程。 例5、（2023青岛市）α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β，那么αβ+α+β的值为 。 同步练习： 1、（2023兰州）假设x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，那么的值为 。 2、（2023成都）x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根，那么实数k的值是 。 3、（2023锦州）设方程x2+x-2=0的两个根为α、β，那么（α-1）（β-1）的值等于 。 4、是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根，那么c的值是 。 5、假设方程组的解是某个一元二次方程的两个根，那么这个一元二次方程是 。 6、一元二次方程x2-2x+m-1=0。 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根。 （2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值。