2023年海淀区高三数学理期末试题及答案2.docx

海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理）答案及评分参考 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） （1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9） （10） （11） （12） （13）；4 （14） 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）的值是. ………………2分 的值是. ………………5分 （Ⅱ）由题意可得：. ………………7分 所以 ………………8分 . ………………10分 因为 ， 所以 . 所以 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. ………………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为. ………………4分 （Ⅱ）由题意可得：. ………………6分 因为 ， 所以 . ………………8分 所以 . ………………10分 （Ⅲ）. ………………13分 （17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接. 在正方形中，. 因为 平面平面，平面平面，平面， 所以 平面. ………………1分 因为 平面， 所以 . ………………2分 在菱形中，. 因为 平面，平面，， 所以 平面. ………………4分 因为 平面， 所以 . ………………5分 （Ⅱ）∥平面，理由如下： ………………6分 取的中点，连接. 因为 是的中点， 所以 ∥，且. 因为 是的中点， 所以 . 在正方形中，∥，. 所以 ∥，且. 所以 四边形为平行四边形. 所以 ∥. ………………8分 因为 平面，平面， 所以 ∥平面. ………………9分 （Ⅲ）在平面内过点作. 由（Ⅰ）可知：平面. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如下列图的空间直角坐标系，设，那么. 在菱形中，，所以 ，. 设平面的一个法向量为. 因为 即 所以 即. ………………11分 由（Ⅰ）可知：是平面的一个法向量. ………………12分 所以 . 所以 二面角的余弦值为. ………………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）由得：. 所以 椭圆的短轴长为. ………………2分 因为 ， 所以 ，即的离心率为. ………………4分 （Ⅱ）由题意知：，设，那么. ………………7分 因为 ………………9分 ， ………………11分 所以 . 所以 点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上. ………………13分 另解：由题意可设直线的方程为，. 由可得：. 所以 ，. ………………7分 所以 . ………………9分 因为 ， 所以 . ………………11分 所以 . 所以 点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上. ………………13分 （19）（共13分） 解：（Ⅰ）函数是偶函数，证明如下： ………………1分 对于，那么. ………………2分 因为 ， 所以 是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）当时，因为 ，恒成立， 所以 集合中元素的个数为0. ………………5分 当时，令，由， 得 . 所以 集合中元素的个数为1. ………………6分 当时，因为 ， 所以 函数是上的增函数. ………………8分 因为 ， 所以 在上只有一个零点. 由是偶函数可知，集合中元素的个数为2. ………………10分 综上所述，当时，集合中元素的个数为0；当时，集合中元素的个数为1；当时，集合中元素的个数为2. （Ⅲ）函数有3个极值点. ………………13分 （20）（共14分） 解：（Ⅰ）因为 ， 所以 ，，，故. ………………1分 因为 ，所以 . 所以 . 所以 当时，取得最大值. ………………3分 （Ⅱ）由的定义可知：. 所以 . ………………6分 设删去的两个数为，那么. 由题意可知：，且当其中一个不等式中等号成立，不放设时，，. 所以 . ………………7分 所以. 所以 ，即. ………………8分 （Ⅲ）对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得恒成立，理由如下： 任取集合，由（）可知， 中存在最大数，不妨记为（假设最大数不唯一，任取一个）. 因为 ， 所以 存在，使得，即. 由可设集合. 那么中一定存在元素使得. 否那么，，与是最大数矛盾. 所以 ，，即. ………………14分