2023学年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第5讲函数y＝Asinωx＋φ的图象及三角函数模型的简单应用高效演练分层突破文新人教A版.doc

第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 [基础题组练] 1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　) 解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.令x＝，得y＝sin＝0，排除C. 2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　) A．－　　　　　　　　　　 B. C．1 D． 解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝. 3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝1 B．A＝3 C．ω＝ D．ω＝ 解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝. 4．(2023年·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：选B.因为y＝sin 2x＝cos＝cos， y＝cos＝cos，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．故选B. 5．(2023年·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝(　　) A．－2 B．－ C. D． 2 解析：选C.因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f(x)＝Asin 2x，得g(x)＝Asin x．又g＝Asin ＝，所以A＝2，故f(x)＝2sin 2x，f＝2sin ＝，故选C. 6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ． 解析：y＝sin xy＝ siny＝sin. 答案：y＝sin 7．已知函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，则ω＝ ，函数f(x)的单调递增区间为 ． 解析：由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 答案：2　(k∈Z) 8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝ ． 解析：依题意，当x＝＝时，f(x)有最小值， 所以sin＝－1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z)． 所以ω＝8k＋(k∈Z)， 因为f(x)在区间上有最小值，无最大值， 所以－≤，即ω≤12， 令k＝0，得ω＝. 答案： 9．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离． 解：连接MP(图略)． 依题意，有A＝2，＝3， 又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx. 当x＝4时，y＝2sin＝3， 所以M(4，3)．又P(8，0)， 所以|MP|＝＝5. 即M，P两点相距5 km. 10．(2023年·合肥市第一次质量检测)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)． (1)求函数h(x)的单调递增区间； (2)若g＝，求h(α)的值． 解：(1)由已知可得g(x)＝sin， 则h(x)＝sin 2x－sin＝sin. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)由g＝得sin＝ sin＝， 所以sin＝－，即h(α)＝－. [综合题组练] 1．(2023年·长沙市统一模拟考试)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　) A．(0，0) B．(1，0) C. D． 解析：选D.如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象的对称性知xE＝1－＝－，xF＝1＋＝，所以E，F，所以函数f(x)图象的对称中心可以是，故选D. 2．(2023年·沈阳市质量监测(一))设函数f(x)＝sin， 则下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号) ①函数y＝f(x)的减区间为(k∈Z)； ②函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到； ③函数y＝f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝； ④若x∈，则f(x)的取值范围是. 解析：对于①，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，①正确；对于②，y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后是y＝sin＝sin的图象，②错误；对于③，令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，当k＝0时，x＝，③错误；对于④，若x∈，则2x－∈，故f(x)∈，④正确． 答案：①④ 3．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0. (1)求ω； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值． 解：(1)因为f(x)＝sin＋sin， 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ＝sin ωx－cos ωx ＝ ＝sin. 由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3， 所以ω＝2. (2)由(1)得f(x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin. 因为x∈，所以x－∈， 当x－＝－， 即x＝－时，g(x)取得最小值－. 4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f的值； (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间． 解：(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2. 又f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 因为－≤φ＜，所以k＝0， 所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin， 则f＝sin＝sin＝. (2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f 的图象， 所以g(x)＝f＝sin ＝sin. 当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减． 因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 8