2023学年高考数学一轮复习课时作业58二项式定理理.doc

课时作业58　二项式定理 [基础达标] 一、选择题 1．[2023年·河北唐山检测]在6的展开式中，x2的系数为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C6－rr＝(－1)rC22r－6x3－r，令r＝1，可得x2的系数为(－1)1×C×22×1－6＝－.故选D. 答案：D 2．[2023年·黑龙江哈尔滨三中测评]8的展开式中常数项的二项式系数为(　　) A．70 B. C. D．105 解析：Tr＋1＝＝Crx4－r，当4－r＝0，即r＝4时，所得项为常数项，所以常数项的二项式系数为C＝70，故选A. 答案：A 3．[2023年·河北保定检测](1－2x)5(2＋x)的展开式中，x3的系数是(　　) A．－160 B．－120 C．40 D．200 解析：(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3的系数是(1－2x)5的展开式中x3的系数的2倍与(1－2x)5的展开式中x2的系数的和，易知(1－2x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝(－2)rCxr，令r＝3，得x3的系数为－8C＝－80，令r＝2，得x2的系数为4C＝40，所以(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3的系数是－80×2＋40＝－120.故选B. 答案：B 4．[2023年·江西重点中学协作体联考](1＋x－x2)10展开式中x3的系数为(　　) A．10 B．30 C．45 D．210 解析：(1＋x－x2)10＝[1＋(x－x2)]10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x－x2)r.(x－x2)r的通项公式为T′m＋1＝C·xr－m·(－x2)m＝(－1)mCxr＋m，令r＋m＝3，根据0≤m≤r，r∈N，m∈N，得或∴(1＋x－x2)10展开式中x3项的系数为－CC＋CC＝－90＋120＝30.故选B. 答案：B 5．[2023年·江西八校联考]若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是(　　) A．－2 B．－3 C．125 D．－131 解析：对于题中等式，令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得－2＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＋a8，∴a1＋a2＋…＋a7＋a8＝－3.∵(1＋x)(1－2x)7＝(1＋x)·[C×17×(－2x)0＋C×16×(－2x)1＋…＋C×10×(－2x)7]，∴a8＝C×10×(－2)7＝－128，∴a1＋a2＋…＋a7＝125.故选C. 答案：C 6．[2023年·广东佛山检测](2x－y)(x＋2y)5展开式中x3y3的系数为(　　) A．－40 B．120 C．160 D．200 解析：(2x－y)(x＋2y)5展开式中x3y3的项为2x·Cx2·(2y)3＋(－y)C·x3·(2y)2＝160x3y3－40x3y3＝120x3y3，故展开式中x3y3的系数为120.故选B. 答案：B 7．[2023年·浙江金华十校联考]已知(x＋1)4＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a3＝(　　) A．64 B．48 C．－48 D．－64 解析：由(x＋1)4＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]4＋[(x－1)－1]8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，得a3·(x－1)3＝C·(x－1)3·2＋C·(x－1)3·(－1)5，∴a3＝8－C＝－48.故选C. 答案：C 8．[2023年·河南新乡调研]“a>1”是“4(a∈R)的展开式中的常数项大于1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：4(a∈R)的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4－k·k＝Cx4－2k·k，令4－2k＝0，得k＝2，所以展开式中的常数项为C·2＝6×＝a2，若展开式中的常数项大于1，则a2>1，得a>1或a<－1，即“a>1”是“4(a∈R)的展开式中的常数项大于1”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 9．[2023年·北京朝阳区高考高效训练]若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(　　) A.(3n－1) B.(3n－2) C.(3n－2) D.(3n－1) 解析：在等式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝＝(3n－1)．故选D. 答案：D 10．[2023年·湖南邵阳联考]设命题p1：4的展开式共有4项； 命题p2：4的展开式的常数项为24； 命题p3：4的展开式中各项的二项式系数之和为16. 那么，下列命题中为真命题的是(　　) A．綈p2 B．p1∧p2 C．p2∧p3 D．p1∨(綈p3) 解析：4的展开式共有5项，常数项为22C＝24，各项的二项式系数之和为24＝16，故p1为假命题，p2，p3均为真命题，则p2∧p3为真命题．故选C. 答案：C 二、填空题 11．[2023年·上海浦东新区检测]已知n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项的系数为________． 解析：n的展开式中，前三项的二项式系数之和为C＋C＋C＝1＋n＋＝37，得n＝8，故展开式中的第五项的系数为C×4＝. 答案： 12．[2023年·江苏卷]在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 解析：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 答案：16　5 13．[2023年·湖北重点高中协作体联考]在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8的展开式中，x2的系数是________． 解析：由题意可知(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8的各项中x2的系数分别为C，3≤n≤8，n∈N，所以(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8的展开式中x2的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C－1＝83. 答案：83 14．[2023年·陕西彬州第一次教学质量监测]如果n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是________． 解析：令x＝1，可得各项系数之和为(3－1)n＝256，求得n＝8，则n＝8的通项公式是Tr＋1＝C·(3x)8－r·r＝C·38－r·(－1)r·x，令8－r＝－2，解得r＝6.故展开式中的系数是C·32＝252. 答案：252 [能力挑战] 15．若二项式n的展开式中第m项为常数项，则m，n应满足(　　) A．2n＝3(m－1) B．2n＝3m C．2n＝3(m＋1) D．2n＝m 解析：由题意得，n的展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)rCx，当n＝r，即2n＝3r时，为常数项，此时r＝m－1，所以m，n应满足2n＝3(m－1)，故选A. 答案：A 16．[2023年·海南三亚华侨学校检测]在24的展开式中，x的指数是整数的项数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵24的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()24－rr＝Cx，∴当r＝0,6,12,18,24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项，故选D. 答案：D 17．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________． 解析：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6， 依题意有C·25＝C·26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C·(2x)4＝1 120x4， 设第r＋1项系数最大，则有 ⇒5≤r≤6. ∴r＝5或r＝6(∵r∈{0,1,2，…，8})， ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 答案：1 120x4　1 792x6 6