2023学年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理高效演练分层突破文新人教A版.doc

第1课时　正弦定理和余弦定理 [基础题组练] 1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b<c，则b＝(　　) A．3　　　　　　　　　 B．2 C．2 D． 解析：选C.由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b<c＝2，所以b＝2.选C. 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　) A．一个 B．两个 C．0个 D．无法确定 解析：选B.由正弦定理得sin B＝＝＝，因为b>a，所以B＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个． 3．(2023年·湖南省湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝sin B，则其最小内角的余弦值为(　　) A．－ B. C. D． 解析：选C.由sin C＝sin B及正弦定理，得c＝b.又b2＝ac，所以b＝a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cos A＝＝＝，故选C. 4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是(　　) A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C B．若A＞B＞C，则sin A<sin B<sin C C．acos B＋bcos A＝csin C D．若a2＋b2＜c2，则△ABC是锐角三角形 解析：选A.对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故A正确； 对于B，A＞B＞C，由大边对大角定理可知，则a＞b＞c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故B错误； 对于C，根据正弦定理可得acos B＋bcos A＝2R(sin A·cos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c，故C错误； 对于D，a2＋b2＜c2，由余弦定理可得cos C＝＜0，由C∈(0，π)，可得C是钝角，故D错误． 5．(2023年·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acos C＋c，则角A等于(　　) A．60° B．120° C．45° D．135° 解析：选A.法一：由b＝acos C＋c及正弦定理，可得sin B＝sin Acos C＋sin C，即sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin C，即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin C，所以cos Asin C＝sin C，又在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝60°，故选A. 法二：由b＝acos C＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cos A＝＝，所以A＝60°，故选A. 6．在△ABC中，角A，B，C满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为 ． 解析：由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以有cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B. 答案：直角三角形或等腰三角形 7．(2023年·高考天津卷改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C，则cos B＝ ． 解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.因为b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a.由余弦定理可得cos B＝＝＝－. 答案：－ 8．(2023年·河南期末改编)在△ABC中，B＝，AC＝，且cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，则C＝ ，BC＝ ． 解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－sin Bsin C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－·AC·AB，所以cos A＝，A＝，则C＝π－A－B＝.由＝，解得BC＝. 答案：　 9．(2023年·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，b＝2，求边c的长． 解：(1)因为asin B＋bcos A＝0， 所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0， 即sin B(sin A＋cos A)＝0， 由于B为三角形的内角， 所以sin A＋cos A＝0， 所以sin＝0，而A为三角形的内角， 所以A＝. (2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A，即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2. 10．在△ABC中，A＝2B. (1)求证：a＝2bcos B； (2)若b＝2，c＝4，求B的值． 解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理＝，得＝，所以a＝2bcos B. (2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A， 因为b＝2，c＝4，A＝2B，所以16cos2B＝4＋16－16cos 2B， 所以cos2B＝， 因为A＋B＝2B＋B<π， 所以B<，所以cos B＝， 所以B＝. [综合题组练] 1．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：选C.如图，过点A作AD⊥BC.设BC＝a，则BC边上的高AD＝a.又因为B＝，所以BD＝AD＝a，AB＝a，DC＝a－BD＝a，所以AC＝＝a.在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝－. 2．(2023年·广州市调研测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为(　　) A．(0，4) B．[2，4) C．[1，4) D．(2，4] 解析：选B.根据正弦定理可得＝，即＝，由三角形内角和定理可得sin(A＋B)＝sin C，所以sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，再根据正弦定理可得a2＋b2－c2＝ab.因为a＋b＝4，a＋b≥2，所以ab≤4，(a＋b)2＝16，得a2＋b2＝16－2ab，所以16－2ab－c2＝ab，所以16－c2＝3ab，故16－c2≤12，c2≥4，c≥2，故2≤c＜4，故选B. 3．(2023年·广东佛山顺德第二次质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsin Ccos A＋asin A＝2csin B. (1)证明：△ABC为等腰三角形； (2)若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3，求b的值． 解：(1)证明：因为2bsin Ccos A＋asin A＝2csin B， 所以由正弦定理得2bccos A＋a2＝2cb， 由余弦定理得2bc·＋a2＝2bc， 化简得b2＋c2＝2bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c. 故△ABC为等腰三角形． (2)法一：由已知得BD＝2，DC＝1， 因为∠ADB＝2∠ACD＝∠ACD＋∠DAC， 所以∠ACD＝∠DAC，所以AD＝CD＝1. 又因为cos∠ADB＝－cos∠ADC， 所以＝－， 即＝－，得2b2＋c2＝9， 由(1)可知b＝c，得b＝. 法二：由已知可得CD＝a＝1， 由(1)知，AB＝AC， 所以∠B＝∠C，又因为∠DAC＝∠ADB－∠C＝2∠C－∠C＝∠C＝∠B， 所以△CAB∽△CDA，所以＝，即＝， 所以b＝. 4．(综合型)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝bcos A. (1)求cos B的值； (2)若a＝2，cos C＝－，求△ABC外接圆的半径R. 解：(1)因为cos B＝bcos A， 所以结合正弦定理，得cos B＝sin Bcos A， 所以sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C．又因为sin C≠0，所以cos B＝. (2)由(1)知，sin B＝＝. 因为cos C＝－， 所以sin C＝＝， 所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝， 所以R＝·＝×＝. 6