2023学年高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例高效演练分层突破文新人教A版.doc

第3讲 平面向量的数量积及应用举例[基础题组练] 1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C. D． 解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－. 2．(2023年·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　) A. B. C．2 D． 解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A. 3．(2023年·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　) A．－ B．－ C. D． 解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B. 4．(2023年·四川资阳第一次模拟)已知向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝m|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则m的值为(　　) A．2 B. C．1 D． 解析：选A.因为a·b＝0，所以|a＋b|＝|a－b|，因为|a＋b|＝m|a|，所以(a＋b)2＝m2a2，所以a2＋b2＝m2a2，所以b2＝(m2－1)a2. 又a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos， 所以＝＝＝－. 解得m＝2或m＝－2(舍去)．故选A. 5．(2023年·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(　　) A．－ B．0 C．4 D．－1 解析：选A.依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选A. 6．(2023年·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝ ． 解析：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)， 所以cos〈a，c〉＝＝. 答案： 7．已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为 ． 解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－| ＝ ＝＝4. 答案：4 8．(2023年·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是 ，a·(a＋b)＝ ． 解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6. 答案：　6 9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)． (1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值； (2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小． 解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)． 由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0， 解得x＝7，即b＝(1，7)， 所以|b|＝＝5. (2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)， 故x＝－3， 所以b＝(1，－3)， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以a与b夹角是. 10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面积． 解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， 所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6， 所以cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，所以θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2 ＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝. (3)因为与的夹角θ＝， 所以∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， 所以S△ABC＝×4×3×＝3. [综合题组练] 1．(2023年·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　) A. B．3 C．1 D．2 解析：选C.由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||cos ∠BAC＝·||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C. 2．(2023年·河北衡水中学期末)在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MA＝MB＝MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，若点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，则·的取值范围是(　　) A．[－1，0) B. C．[－1，1) D． 解析：选B.连接MN.由题意得·＝(－)·(－)＝2－2＝||2－1.在△MCN中，MC＝1，∠MCN＝30°，所以MN2＝12＋NC2－2×NC×1×＝NC2－NC＋1，所以MN2－1＝NC2－NC＝－.由MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，可得CD＝，又点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，所以0＜NC＜. 所以－≤MN2－1＜0，即·的取值范围是.故选B. 3．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0. (1)求∠C的大小； (2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积． 解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0， 所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0， sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0， 所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝. (2)由＝知，－＝－， 所以2＝＋， 两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.① 又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB， 所以a2＋b2－ab＝12.② 由①②得ab＝8， 所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2. 4.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点． (1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值； (2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值． 解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)， 由题意知C， 所以＋＝， 所以|＋|2＝－t＋t2＋ ＝t2－t＋1＝＋， 所以当t＝时，|＋|有最小值，为. (2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)， 则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin， 因为θ∈，所以≤2θ＋≤， 所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1. 所以当θ＝时，m·n取得最小值，为1－. 6