2023学年高考数学大二轮复习能力升级练十空间中的平行与垂直关系理2.docx

能力升级练(十)　空间中的平行与垂直关系 一、选择题 1.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b(　　) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾. 答案C 2.设α为平面,a、b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是(　　) A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α C.若a⊥α,a⊥b,则b∥α D.若a∥α,a⊥b,则b⊥α 解析若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故A错误;易知B正确;若a⊥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α,故C错误;若a∥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α或b与α相交,故D错误.故选B. 答案B 3.设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 解析对于A,若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,故A错;易知B正确;对于C,若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;对于D,若α⊥β,l∥α,则l与β的位置关系不确定,故D错.故选B. 答案B 4. 如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(　　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE 解析因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE. 又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C. 答案C 5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出四个命题: ①若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则α⊥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β. 其中正确的命题是(　　) A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 解析两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况,①不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,②正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故③正确;当两个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也平行,故④不正确. 答案B 6.如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A.15 B.25 C.35 D.45 解析连接BC1,易证BC1∥AD1, 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=2,A1B=BC1=5, 在△A1BC1中,由余弦定理得cos∠A1BC1=5+5-22×5×5=45. 答案D 7. (2023江西赣州模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,且BC1⊥AC,过C1作C1H⊥底面ABC,垂足为H,则点H在(　　) A.直线AC上 B.直线AB上 C.直线BC上 D.△ABC内部 解析连接AC1,如图. ∵∠BAC=90°, ∴AC⊥AB, ∵BC1⊥AC,BC1∩AB=B, ∴AC⊥平面ABC1. 又AC在平面ABC内, ∴根据面面垂直的判定定理,知平面ABC⊥平面ABC1, 则根据面面垂直的性质定理知,在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线,垂足必落在直线AB上.故选B. 答案B 8. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,将△ACD沿AC折起,使得D折起后的位置为D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,有n对平面相互垂直,则n等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析如图,设D1在平面ABC上的射影为E,连接D1E,则D1E⊥平面ABC,因为D1E⊂平面ABD1, 所以平面ABD1⊥平面ABC. 因为D1E⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以D1E⊥BC,又AB⊥BC,D1E∩AB=E, 所以BC⊥平面ABD1, 又BC⊂平面BCD1, 所以平面BCD1⊥平面ABD1, 因为BC⊥平面ABD1,AD1⊂平面ABD1, 所以BC⊥AD1,又CD1⊥AD1,BC∩CD1=C, 所以AD1⊥平面BCD1,又AD1⊂平面ACD1, 所以平面ACD1⊥平面BCD1. 所以共有3对平面互相垂直.故选B. 答案B 二、填空题 9.(2023广东广州调研)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M为CC1的中点,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1于点Q,则线段AQ的长为　　　　　.  解析如图所示,在线段DD1上靠近点D处取一点T,使得DT=13,因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点,故D1N=23,故NT=2-13-23=1,因为M为CC1的中点,故CM=1,连接TC,由NT∥CM,且CM=NT=1,知四边形CMNT为平行四边形,故CT∥MN,同理在AA1上靠近A处取一点Q',使得AQ'=13,连接BQ',TQ',易知TQ'∥BC,TQ'=BC,即四边形BCTQ'是平行四边形,则有BQ'∥CT∥MN,故BQ'与MN共面,即Q'与Q重合,故AQ=13. 答案13 10. 如图,∠ACB=90°,DA⊥平面ABC,AE⊥DB交DB于点E,AF⊥DC交DC于点F,且AD=AB=2,则三棱锥D-AEF体积的最大值为　　　　　.  解析因为DA⊥平面ABC,所以DA⊥BC,又BC⊥AC,DA∩AC=A,所以BC⊥平面ADC,所以BC⊥AF.又AF⊥CD,BC∩CD=C,所以AF⊥平面DCB,所以AF⊥EF,AF⊥DB.又DB⊥AE,AE∩AF=A,所以DB⊥平面AEF,所以DE为三棱锥D-AEF的高.因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高,所以AE=2,设AF=a,FE=b,则△AEF的面积S=12ab≤12·a2+b22=12×22=12,所以三棱锥D-AEF的体积V≤13×12×2=26(当且仅当a=b=1时等号成立). 答案26 11.(2023云南昆明调研)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2.过点A1作平面α与AB,AD分别交于M,N两点,若AA1与平面α所成的角为45°,则截面A1MN面积的最小值是　　　　　.  解析如图,过点A作AE⊥MN,连接A1E,因为A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥MN,所以MN⊥平面A1AE,所以A1E⊥MN,平面A1AE⊥平面A1MN,所以∠AA1E为AA1与平面A1MN所成的角,所以∠AA1E=45°,在Rt△A1AE中,因为AA1=2,所以AE=2,A1E=22,在Rt△MAN中,由射影定理得ME·EN=AE2=4,由基本不等式得MN=ME+EN≥2ME·EN=4,当且仅当ME=EN,即E为MN的中点时等号成立,所以截面A1MN面积的最小值为12×4×22=42. 答案42 12.矩形ABCD中,AB=3,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为　　　　　.  解析根据题意,在初始状态时,直线AD与直线BC成的角为0,当BD=2时,AD⊥DB,AD⊥DC,且DB∩DC=D, 所以AD⊥平面DBC,又BC⊂平面DBC,故AD⊥BC,直线AD与BC成的角为π2, 所以在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为0,π2. 答案0,π2 三、解答题 13. 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD、BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 证明(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB. 又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, BC⊂平面BCD且BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD. 又因为AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC, 所以AD⊥AC. 14.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点. 求证:(1)AF∥平面BCE; (2)平面BCE⊥平面CDE. 证明(1)如图,取CE的中点G,连接FG,BG. 因为F为CD的中点, 所以GF∥DE且GF=12DE. 因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE, 所以GF∥AB. 又因为AB=12DE,所以GF=AB. 所以四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG. 因为AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE, 所以AF∥平面BCE. (2)因为△ACD为等边三角形,F为CD的中点, 所以AF⊥CD. 因为DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD, 所以DE⊥AF. 又CD∩DE=D, 所以AF⊥平面CDE. 因为BG∥AF,所以BG⊥平面CDE. 又因为BG⊂平面BCE, 所以平面BCE⊥平面CDE. 11