2023学年高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第1课时椭圆及其性质练习理北师大版.doc

第1课时 椭圆及其性质 [基础题组练] 1．(2023年·河北衡水二模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B． C. D． 解析：选D.因为e＝＝＝，所以8a2＝9b2，所以＝.故选D. 2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 解析：选B.因为a＝4，e＝， 所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7. 因为焦点的位置不确定， 所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1. 3．已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：选A.由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A. 4．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　) A.－1 B． C. D．＋1 解析：选A.不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝－1.故选A. 5．(2023年·江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.如图所示， 设直线AB的方程为ty＝x，F(c，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立可得y2＝＝－y1y2， 所以△ABF的面积S＝c|y1－y2|＝ c＝c≤cb，当t＝0时取等号． 所以bc＝2.所以a2＝b2＋c2≥2bc＝4，a≥2.所以椭圆E的长轴长的最小值为4.故选D. 6．(2023年·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________． 解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4. 设M(x，y)， 则得 所以M的坐标为(3，)． 答案：(3，) 7．(2023年·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米． 解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米． 由题意知解得2c＝85. 即椭圆形轨道的焦距为85千米． 答案：85 8．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________． 解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2. 又d＝≥，所以1≤b<2.又e＝＝＝，所以0<e≤. 答案： 9．已知F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2. (1)求△ABF2的周长； (2)若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积． 解：(1)因为F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点， 过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2. 所以△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4. (2)设直线l的方程为x＝my－1， 由，得(m2＋2)y2－2my－1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－， 因为AF2⊥BF2，所以·＝0， 所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(my1－2)(my2－2)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2－2m(y1＋y2)＋4 ＝－2m×＋4 ＝＝0. 所以m2＝7. 所以△ABF2的面积S＝×|F1F2|×＝. 10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e. (1)若e＝，求椭圆的方程； (2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且<e≤，求k的取值范围． 解：(1)由题意得c＝3，＝，所以a＝2.又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1. (2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝， 依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2.因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)， 所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋9＝0. 即＋9＝0， 将其整理为k2＝＝－1－. 因为<e≤，所以2≤a<3，12≤a2<18. 所以k2≥，即k∈∪. [综合题组练] 1．设椭圆：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为(　　) A. B． C. D． 解析：选B. 如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B. 2．(2023年·福建福州一模)已知F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1M⊥PK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(0，) C．(0，) D．(0，2) 解析：选C.如图，延长PF2，F1M相交于N点， 因为K点是△F1PF2内切圆的圆心，所以PK平分∠F1PF2， 因为F1M⊥PK， 所以|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点， 因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点， 所以|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝c＝， 所以|OM|的取值范围是(0，)． 故选C. 3．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为________． 解析：因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1||AF2|＝2b2，所以S△F1AF2＝|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝|F1F2|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A，则S△AF1F2＝|F1F2|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 4．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________． 解析：设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1>＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>0，e2<＝，所以0<e<. 答案： 5．已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值． 解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1. 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝. (2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0， 因为OA⊥OB，所以·＝0， 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. 又x＋2y＝4， 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2 ＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4 ＝＋＋4(0<x≤4)． 因为＋≥4(0<x≤4)， 当且仅当x＝4时等号成立， 所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2. 6．(2023年·江西八校联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O. (1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程； (2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x＋1)2＋y2＝3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由． 解：(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc， 所以2bc＝2. 因为|A1A2|＝2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时取“＝”，此时a＝， 所以长轴A1A2的长的最小值为2，此时椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)是定值．设点P(x0，y0)，则＋y＝1⇒y＝1－. 圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋y，即x2＋y2－2x0x－2y0y＝0，① 圆F1的方程为(x＋1)2＋y2＝3，即x2＋y2＋2x－2＝0，② ①－②得公共弦MN所在直线的方程为(x0＋1)x＋y0y－1＝0， 所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d＝＝＝＝， 则|MN|＝2＝2，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2. 8