2023学年高考数学大二轮复习能力升级练十四函数及其应用理2.docx

能力升级练(十四)　函数及其应用 一、选择题 1.函数y=1log0.5(4x-3)的定义域为(　　) A.34,1 B.34,+∞ C.(1,+∞) D.34,1∪(1,+∞) 解析要使函数有意义需满足4x-3>0,log0.5(4x-3)>0,解得34<x<1.故选A. 答案A 2.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 解析设g(x)=x,h(x)=ex+ae-x,因为函数g(x)=x是奇函数,则由题意知,函数h(x)=ex+ae-x为奇函数,又函数f(x)的定义域为R,所以h(0)=0,解得a=-1.故选A. 答案A 3.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是(　　) 解析由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥,向容器中匀速注水,说明单位时间内注入水的体积相等,因圆锥下面窄上面宽,所以下面的高度增加得快,上面的高度增加得慢,即图象应越来越平缓.故选B. 答案B 4.(2023贵州贵阳模拟)20世纪30年代,为了防范地震带来的灾害,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感已经比较明显,则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的(　　) A.10倍 B.20倍 C.50倍 D.100倍 解析根据题意有lgA=lgA0+lg10M=lg(A0·10M).所以A=A0·10M,则A0×107A0×105=100.故选D. 答案D 5.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　　) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 解析设2x=3y=5z=k(k>1), 则x=log2k,y=log3k,z=log5k, 所以2x3y=2log2k3log3k=2lgklg2·lg33lgk=2lg33lg2=lg9lg8>1,即2x>3y.① 2x5z=2log2k5log5k=2lgklg2·lg55lgk=2lg55lg2=lg25lg32<1, 所以2x<5z.② 由①②,得3y<2x<5z.故选D. 答案D 6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有x2f(x1)>x1f(x2),记a=12f(2),b=f(1),c=-13f(-3),则a,b,c之间的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 解析因为对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有x2f(x1)>x1f(x2),所以f(x1)x1>f(x2)x2,得函数g(x)=f(x)x在(0,+∞)上是减函数,又c=-13f(-3)=13f(3),所以g(1)>g(2)>g(3),即b>a>c,故选B. 答案B 7.(2023全国Ⅲ,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为(　　) 解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=-124+122+2>2.排除C.故选D. 答案D 光速解题排除法:方法一:当x→+∞时,y→-∞,所以可以排除选项A和B,y=-x4+x2+2=-x2-122+94, 所以x2=12,即x=±22时,函数y=-x4+x2+2有最大值,所以排除选项C. 方法二:当x=0时,y=2>0,所以可以排除选项A和B,当x=12时,y=3516>2,所以排除选项C. 8.已知函数f(x)=2|x|+1+x3+22|x|+1的最大值为M,最小值为m,则M+m等于(　　) A.0 B.2 C.4 D.8 解析f(x)=2·(2|x|+1)+x32|x|+1=2+x32|x|+1, 设g(x)=x32|x|+1, 因为g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数, 所以g(x)max+g(x)min=0. 因为M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min, 所以M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4. 答案C 9.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R,都有f(t)=f(1-t),且x∈0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于(　　) A.-12 B.-13 C.-14 D.-15 解析由f(t)=f(1-t),得f(1+t)=f(-t)=-f(t), 所以f(2+t)=-f(1+t)=f(t), 所以f(x)的周期为2. 又f(1)=f(1-1)=f(0)=0, 所以f(3)+f-32=f(1)+f12 =0-122=-14.故选C. 答案C 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=ln x-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析当x>0时,f(x)=lnx-x+1,f'(x)=1x-1=1-xx,所以x∈(0,1)时f'(x)>0, 此时f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减.因此,当x>0时,f(x)max=f(1)=ln1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=ex的大致图象如图所示,观察到函数y=f(x)与y=ex的图象有两个交点,所以函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)有2个零点. 答案C 11.(2023广东惠州第一次调研)已知函数y=f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件: ①对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0恒成立; ②f(x+4)=-f(x); ③y=f(x+4)是偶函数. 若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 解析由①知函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数;由②知f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以c=f(2017)=f(252×8+1)=f(1),b=f(11)=f(3);由③可知函数f(x)的图象关于直线x=4对称,所以b=f(3)=f(5),c=f(1)=f(7).因为函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数,所以f(5)<f(6)<f(7),即b<a<c.故选B. 答案B 12.(2023辽宁沈阳教学质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=22x-1,若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)在区间(-2,6)内有且只有4个不同的实根,则实数a的取值范围是(　　) A.14,1 B.(1,4) C.(1,8) D.(8,+∞) 解析因为f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),所以f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以f(x)的周期为4, 又当-2≤x≤0时,f(x)=22x-1, 画出f(x)在(-2,6)上的大致图象,如图所示. 若f(x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)在(-2,6)内有4个不同的实根,则y=f(x)的图象与y=loga(x+2)的图象在(-2,6)内有4个不同的交点.所以a>1,loga(6+2)<1,所以a>8,故选D. 答案D 二、填空题 13.计算:2log410-12log225+823-(π-3)0=　　　　　.  解析2log410-12log225+823-(π-3)0=2×12log210-log25+(23)23-1=log2105+22-1=1+4-1=4. 答案4 14.已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=. 解析令g(x)=ln(1+x2-x),g(-x)=ln(1+x2+x), ∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,∴g(x)为奇函数. ∴f(x)=g(x)+1. ∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2. ∴f(-a)=-2. 答案-2 15.已知函数f(x)=x|x-a|,若对任意的x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.  解析f(x)=x(x-a),x≥a,-x(x-a),x<a,由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0知,函数y=f(x)在[2,+∞)单调递增,当a≤0时,满足题意;当a>0时,根据函数图象可知只需a≤2,即0<a≤2,综上所述,a≤2. 答案{a|a≤2} 16.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调增函数.如果实数t满足f(ln t)+fln1t<2f(1)时,那么t的取值范围是　　　　.  解析因为函数f(x)是偶函数, 所以fln1t=f(-lnt)=f(lnt)=f(|lnt|). 则有f(lnt)+fln1t<2f(1)⇒2f(lnt)<2f(1)⇒f(|lnt|)<f(1)⇒|lnt|<1⇒1e<t<e. 答案1e,e 17.已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:①直线x=1是函数f(x)的一条对称轴;②f(x+2)=-f(x);③当1≤x1<x2≤3时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,则f(2 011),f(2 012),f(2 013)从大到小的顺序为　　　　　.  解析由②知f(x)的周期为4. 由③知f(x)在[1,3]上为减函数, ∴f(2011)=f(3),f(2012)=f(0)=f(2),f(2013)=f(1),∴f(1)>f(2)>f(3),即f(2013)>f(2012)>f(2011). 答案f(2 013)>f(2 012)>f(2 011) 18.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=1f(x);②函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;③对于任意的x1,x2∈[0,1],且x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则f32,f(2),f(3)从小到大的关系是　　　　　.  解析由①得f(x+2)=f(x+1+1)=1f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2. 因为函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,将函数y=f(x+1)的图象向右平移一个单位即得y=f(x)的图象,所以函数y=f(x)的图象关于x=1对称;根据③可知函数f(x)在[0,1]上为减函数,又结合②知,函数f(x)在[1,2]上为增函数. 因为f(3)=f(2+1)=f(1),在区间[1,2]上,1<32<2,所以f(1)<f32<f(2), 即f(3)<f32<f(2). 答案f(3)<f32<f(2) 9