2023年中考冲刺几何综合问题基础.doc

中考冲刺：几何综合问题(根底) 冲刺：几何综合问题(根底)一、选择题1.〔2023•天水〕如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外〔点B′与C重合〕停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合局部的面积为y，那么y关于x的函数图象是〔　　〕　　　　　　　　　　　　　　　A．　 　 B．　 C．　 D． 2. 如图，将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置〔A、D、C、F四点在同一条直线上〕．直角边DE交BC于点G．如果BG=4，EF=12，△BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是〔　　〕　　　　　　　　　　　　　　　　A. 16　　 B. 20　　 C. 24　　　 D. 28 二、填空题3.〔2023•海淀区二模〕据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如以下图，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，那么金字塔的高度BO为______ m．　　　　　　　　　　　　4. 如图，线段AB=8cm，点C是AB上任意一点〔不与点A、B重合〕，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形〔△AMC和△CNB〕，那么当BC=_____________cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小．　　　　　　　　　　　　　　　　 三、解答题5. 有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合；　将直尺沿AB方向平移〔如图②〕，设平移的长度为xcm〔　0≤x≤10　〕，直尺和三角形纸板的重叠局部〔图中阴影局部〕的面积为Scm2．〔1〕当x=0时〔如图①〕，S=________；　　〔2〕当0＜x≤4时〔如图②〕，求S关于x的函数关系式；　　〔3〕当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；　　〔4〕直接写出S的最大值．　　　　　　　6. 问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证：△ABD≌△CAE.〔不需要证明〕　　特例探究：如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE,AD与CE交于点F.求证：△ABD≌△CAE．归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．假设BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．　　　　　7. 如图正三角形ABC的边长为6cm,⊙O的半径为rcm，当圆心O从点A出发，沿着线路AB－BC－CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.⑴假设r=cm,求⊙O首次与BC边相切时，AO的长；　　⑵在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数；　　⑶设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部，⊙O未经过的局部面积为S，在S＞0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围. 　　　　　　　　　　　　　　　8. 〔2023•德州〕〔1〕问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．〔2〕探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．〔3〕应用：请利用〔1〕〔2〕获得的经验解决问题：　　如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t〔秒〕，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．　　　　　　9. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12 cm，BC=9 cm，DC=13 cm，点P是线段AB上一个动点.设BP为x cm，△PCD的面积为y cm2．〔1〕求AD 的长；　　〔2〕求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？〔3〕在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？假设存在，求出x的值；假设不存在，请说明理由. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　10. 如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P从点A出发沿边线AB—BC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当P与C重合时停下运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式. 　　　　　　　　　　　　　　　 答案与解析 【答案与解析】　　一、选择题1.【答案】B.　【解析】如图1所示：当0＜x≤1时，过点D作DE⊥BC′．　　　　　∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形，　　　　　∴△DBC′为等边三角形．　　　　　∴DE=BC′=x．　　　　　∴y=BC′•DE=x2．　　　　　当x=1时，y=，且抛物线的开口向上．　　　　　如图2所示：1＜x≤2时，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为E．　　　　　∵y=B′C′•A′E=×1×=．　　　　　∴函数图象是一条平行与x轴的线段．　　　　　如图3所示：2＜x≤3时，过点D作DE⊥B′C，垂足为E．　　　　　y=B′C•DE=〔x﹣3〕2，　　　　　函数图象为抛物线的一局部，且抛物线开口向上．　　　　　应选：B．2.【答案】B.二、填空题3.【答案】134.4.【答案】4.三、解答题5.【答案与解析】〔1〕由题意可知：　　　　 当x=0时，　　 ∵△ABC是等腰直角三角形，　　 ∴AE=EF=2，　　 那么阴影局部的面积为：S=×2×2=2；　　　　 故答案为：2；　　〔2〕在Rt△ADG中，∠A=45°，　　 ∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，　　 ∴S梯形DEFG=〔x+x+2〕×2=2x+2．　　 ∴S=2x+2；　　〔3〕①当4＜x＜6时〔图1〕，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 GD=AD=x，EF=EB=12-〔x+2〕=10-x，　　 那么S△ADG=AD.DG=x2，　　 S△BEF=〔10-x〕2，　　 而S△ABC=×12×6=36，　　 S△BEF=〔10-x〕2，　　 ∴S=36-x2-〔10-x〕2=-x2+10x-14，　　 S=-x2+10x-14=-〔x-5〕2+11，　　 ∴当x=5，〔4＜x＜6〕时，S最大值=11．〔4〕S最大值=11．6.【答案与解析】特例探究：　　证明：∵△ABC是等边三角形，　　　∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，　　　在△ABD与△CAE中，　　　，　　　∴△ABD≌△CAE〔SAS〕；　　　　　归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：　　　　　∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，　　　∴∠DBA=∠EAC=120°．　　　在△ABD与△CAE中，　　　，　　　∴△ABD≌△CAE〔SAS〕；　　　　　拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，　　　∴OA=OB，　　　∴∠OBA=∠BAC=50°，　　　∴∠EAC=∠DBC．　　　在△ABD与△CAE中，，　　　∴△ABD≌△CAE〔SAS〕，　　　∴∠BDA=∠AEC=32°，　　　∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°．7.【答案与解析】〔1〕设⊙O首次与BC相切于点D，那么有OD⊥BC．　　 且OD=r=．　　 在直角三角形BDO中，　　 ∵∠OBD=60°，　　 ∴OB==2．　　 ∴AO=AB-OB=6-2=4〔厘米〕；　　〔2〕由正三角形的边长为6厘米．可得出它的一边上的高为3厘米．　　 ①当⊙O的半径r=3厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3；　　　　 ②当0＜r＜3时，⊙O在移动中与△ABC的边相切六次，即切点个数为6；　　　　 ③当r＞3时，⊙O与△ABC不能相切，即切点个数为0．〔3〕如图，易知在S＞0时，⊙O在移动中，在△ABC内部为经过的局部为正三角形． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 记作△A′B′C′，这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r．　　 连接AA′，并延长AA′，分别交B′C′，BC于E，F两点．　　 那么AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r．　　 又过点A′作A′G⊥AB于G，那么A′G=r．　　 ∵∠GAA′=30°，　　 ∴AA′=2x．　　 ∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r，　　 B′C′=　　 A′E=2〔3-r〕．　　 ∴△A′B′C′的面积S=B′C′.A′E=3〔3-r〕2．　　 ∴所求的解析式为S=3〔3-r〕2〔0＜r＜3〕．8.【答案与解析】解：〔1〕如图1，　　　　　　　　　　　　　　　　　∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；　　〔2〕结论AD•BC=AP•BP仍然成立．理由：如图2，　　　　　　　　　　　　　　　　　∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；　　〔3〕如图3，　　　　　　　　　　　　　　　　　　过点D作DE⊥AB于点E．∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3．由勾股定理可得DE=4．∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1．又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B．由〔1〕、〔2〕的经验可知AD•BC=AP•BP，∴5×1=t〔6﹣t〕，解得：t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．9.【答案与解析】 ⊥BC于点E．　　　　　　　　　　　　　　　　　　据题意知，四边形ABED是矩形，AB=DE，AD=BE. 　　在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=12，CD=13，∴ EC=5．　　　 ∴AD=BE=BC-EC=4．〔2〕假设BP为x，那么AP=12-x. 　　S△BPC=BP·BC=x.　 S△APD=AP·AD=24-2x. 　　∴S△PCD=S梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-x-24+2x=-x+54.即 y=-x+54，0≤x≤12. 　　当x=0时，y取得最大值为54 cm2.〔3〕假设△PCD是直角三角形，∵∠BCP＜90°，∴∠PCD≠90°∴分两种情况讨论，如图2.　　　　　　　　　　　　　　　　 ①当∠DPC=90°时∵∠APD+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°，∴∠APD=∠PCB.∴△APD∽△BCP.∴.即.解得x=6.∠APD=∠BPC=45°的情况不存在，不考虑.②当∠P1DC=90°时，在 Rt△P1BC中，P1C2=BP12+BC2=x2+92，在 Rt△P1AD中，P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42，∵∠P1DC=90°，CD2+P1D2=P1C2.即132+(12-x)2+42=x2+92.解得.综上，当x=6或，△PCD是直角三角形.10.【答案与解析】当Q点与D点重合时，AQ=AD=6，此时AP=AQ=3=t当P与B点重合时，t=10，当 P点运动到C时，t=16，∴分三类情况讨论〔1〕当0≤t≤3时，如图：