2023学年高考数学大二轮复习能力升级练二平面向量与复数理2.docx

能力升级练(二)　平面向量与复数 一、选择题 1.下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 解析i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数,排除A;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除B;(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故选C. 答案C 2.设z=11+i+i(i为虚数单位),则|z|=(　　) A.12 B.22 C.32 D.2 解析因为z=11+i+i=1-i(1+i)(1-i)+i=1-i2+i=12+12i,所以|z|=122+122=22. 答案B 3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是(　　) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a 解析对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小. 答案B 4.(2023北京通州二模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=(　　) A.12 B.1 C.2 D.2 解析由题意得a·b=|a|×1×12=|a|2,又|2a-b|=1, ∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-2|a|+1=1, 即4|a|2-2|a|=0,又|a|≠0,解得|a|=12. 答案A 5.(2023河北石家庄二模)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为(　　) A.π3 B.2π3 C.5π6 D.π6 解析设|b|=1,则|a+b|=|a-b|=2. 由|a+b|=|a-b|,得a·b=0, 故以a、b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|=3, 设向量a+b与a的夹角为θ, 则cosθ=a·(a+b)|a|·|a+b|=a2+a·b|a|·|a+b|=|a||a+b|=32,又0≤θ≤π,所以θ=π6. 答案D 6.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(1,m),若实数λ满足a+b=λc,则λ+m等于(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析由题意知(5,5)=(λ,λm), 即λ=5,λm=5,故λ=5,m=1,∴λ+m=6. 答案B 7.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=(　　) A.BC B.12AD C.AD D.12BC 解析如图,EB+FC=EC+CB+FB+BC=EC+FB=12(AC+AB)=12·2AD=AD. 答案C 8.(2023河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λμ=(　　) A.233 B.33 C.3 D.23 解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2), 因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为(m,3m)(m≠0). AD=(m,3m)=λAB+μAC=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m,且μ=32m, 所以λμ=233. 答案A 9.(2023福建普通高中质量检查)若复数z满足(1+i)z=|3+i|,则在复平面内,z对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析由题意,得z=(3)2+121+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i,所以z=1+i,其在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,故选A. 答案A 二、填空题 10.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　　.  解析∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则得λ=μ,1=2μ,解得λ=μ=12. 答案12 11.(2023陕西西安八校联考)若a+bii(a,b∈R)与(2-i)2互为共轭复数,则a-b=　　　　　.  解析∵a+bii=(a+bi)(-i)-i2=b-ai,(2-i)2=4-4i-1=3-4i,a+bii(a,b∈R)与(2-i)2互为共轭复数,∴b=3,a=-4,则a-b=-7,故答案为-7. 答案-7 12.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b),若A,B,C三点共线,则a,b的关系式为　　　　　.  解析由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1), ∵A,B,C三点共线,∴AB∥AC. ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2. 答案a+b=2 13.(2023广东佛山二模)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在斜边AC上,若AE=2EC,则DE·AC=　　　　　.  解析如图,以B为坐标原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),所以AC=(-1,2). 因为D为BC的中点, 所以D(0,1), 因为AE=2EC,所以E13,43, 所以DE=13,13,所以DE·AC=13,13·(-1,2)=-13+23=13. 答案13 三、解答题 14.计算1+i1-i6+2+3i3-2i. 解原式=(1+i)226+(2+3i)(3+2i)(3)2+(2)2 =i6+6+2i+3i-65 =-1+i. 15.(2023山东潍坊摸底)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-35. (1)求sin A的值; (2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影. 解(1)由m·n=-35, 得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35, 所以cosA=-35.因为0<A<π, 所以sinA=1-cos2A=1--352=45. (2)由正弦定理,得asinA=bsinB, 　　则sinB=bsinAa=5×4542=22,因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=π4.由余弦定理得(42)2=52+c2-2×5c×-35,解得c=1,c=-7(舍去),故向量BA在BC方向上的投影为 |BA|cosB=ccosB=1×22=22. 7