2023学年高考数学复习专题一高频客观命题点1.6推理与证明练习文2.docx

1.6　推理与证明 高考命题规律 1.补充性考题,主要考查合情推理与演绎推理的应用. 2.填空题或选择题,5分,中档难度. 3.全国高考有2种命题角度,分布如下表. 2023年高考必备 2015年 2016年 2017年 2023年 2023年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 命题 角度1 合情推理与演绎推理 16 9 5 命题 角度2 直接证明与间接证明 命题角度1合情推理与演绎推理　 高考真题体验·对方向 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2023全国Ⅱ·5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为(　　) A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 答案　A 解析　若甲预测正确,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选A. 2.(2017北京·14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数; (ⅱ)女学生人数多于教师人数; (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　　;  ②该小组人数的最小值为　　　　　.  答案　①6　②12 解析　设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z, 则x,y,z都是正整数,且x>y,y>z,2z>x,x,y,z∈N*, 即2z>x>y>z,x,y,z∈N*. ①教师人数为4,即z=4,8>x>y>4,所以y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6. ②由题意知2z>x>y>z,x,y,z∈N*. 当z=1时,2>x>y>1,x,y不存在; 当z=2时,4>x>y>2,x,y不存在; 当z=3时,6>x>y>3,x=5,y=4,此时该小组人数最少,最小值为5+4+3=12. 3.(2016全国Ⅱ·16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是　　　　　.  答案　1和3 解析　由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾. 综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”. 4.(2016山东·12)观察下列等式: sinπ3-2+sin2π3-2=43×1×2; sinπ5-2+sin2π5-2+sin3π5-2+sin4π5-2=43×2×3; sinπ7-2+sin2π7-2+sin3π7-2+…+sin6π7-2=43×3×4; sinπ9-2+sin2π9-2+sin3π9-2+…+sin8π9-2=43×4×5; …… 照此规律:sinπ2n+1-2+sin2π2n+1-2+sin3π2n+1-2+…+sin2nπ2n+1-2=　　　　　.  答案　43n(n+1) 解析　由等式可知,等式右边共三个数相乘,第一个数都是43; 而所给等式就是第n个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n; 第三个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1. 所以第n个式子等号右边为43n(n+1). 典题演练提能·刷高分 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2023四川成都高三模拟)某校有A,B,C,D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下. 甲说:“A,B同时获奖.” 乙说:“B,D不可能同时获奖.” 丙说:“C获奖.” 丁说:“A,C至少一件获奖.” 如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的,则获奖的作品是(　　) A.作品A与作品B B.作品B与作品C C.作品C与作品D D.作品A与作品D 答案　D 解析　易知乙,丁预测的是正确的,甲,丙预测的是错误的;丙预测错误,∴C不获奖;丁预测正确,A,C至少一件获奖,∴A获奖;甲预测错误,即A,B不同时获奖,∴B不获奖;∴D获奖.即获奖的作品是作品A与作品D.故选D. 2.(2023重庆巴蜀中学高三模拟)某演绎推理的“三段”分解如下: ①函数f(x)=lg x是对数函数;②对数函数y=logax(a>1)是增函数;③函数f(x)=lg x是增函数,则按照演绎推理的三段论模式,排序正确的是(　　) A.①→②→③ B.③→②→① C.②→①→③ D.②→③→① 答案　C 解析　①函数f(x)=lgx是对数函数;②对数函数y=logax(a>1)是增函数;③函数f(x)=lgx是增函数,大前提是②,小前提是①,结论是③.故排列的次序应为:②→①→③,故选C. 3.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标O,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,以此类推,则标签2 0172的格点的坐标为(　　) A.(2 017,2 016) B.(2 016,2 015) C.(1 009,1 008) D.(1 008,1 007) 答案　C 解析　由图形规律可知,由O(记为第0圈)开始,第n圈的正方形右上角标签为(2n+1)2-1,坐标为(n,n),所以标签为20172的数字是标签为20172-1的右边一格,标签为20172-1的坐标为(1008,1008),所以标签为20172的为(1009,1008),故选C. 4.有下列各式:1+12+13>1,1+12+13+…+17>32,1+12+13+…+115>2,…,则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　1+12+13+…+12n+1-1>n+12(n∈N*) 解析　观察各式左边为1n的和的形式,项数分别为3,7,15,…,∴可猜想第n个式子中左边应有2n+1-1项,不等式右边分别写成22,32,42,…,∴猜想第n个式子中右边应为n+12,按此规律可猜想此类不等式的一般形式为:1+12+13+…+12n+1-1>n+12(n∈N*). 5.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是　　　　.  答案　乙 解析　(1)根据“甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小”可得丙是体委;(2)根据“丙的年龄比学委的大,体委比乙年龄小”可得:乙的年龄>丙的年龄>学习委员的年龄,由此可得,乙不是学习委员,那么乙是班长. 6.(2023陕西榆林高三一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-2,3)且法向量为n=(4,-1)的直线(点法式)方程为4×(x+2)+(-1)×(y-3)=0,化简得4x-y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点B(2,3,4)且法向量为m=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为　　　　　.  答案　x+2y-z-4=0 解析　类比直线方程的求法,利用空间向量的数量积可得(-1)(x-2)+(-2)(y-3)+1×(z-4)=0, 化简得x+2y-z-4=0. 故答案为:x+2y-z-4=0. 命题角度2直接证明与间接证明　 高考真题体验·对方向 　(2014山东·4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(　　) A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 答案　A 解析　因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根. 典题演练提能·刷高分 1.设m,n,t都是正数,则m+4n,n+4t,t+4m三个数(　　) A.都大于4 B.都小于4 C.至少有一个大于4 D.至少有一个不小于4 答案　D 解析　依题意,令m=n=t=2,则三个数为4,4,4,排除A,B,C选项,故选D. 2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的正确假设为(　　) A.自然数a,b,c中至少有两个偶数 B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 C.自然数a,b,c都是奇数 D.自然数a,b,c都是偶数 答案　B 解析　“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数,其否定是“自然数a,b,c均为奇数或自然数a,b,c中至少有两个偶数”.故选B. 3.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q>2;②设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于12,用反证法证明时可假设|f(1)|≥12,且|f(2)|≥12,以下说法正确的是(　　) A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确,②的假设错误 D.①的假设错误,②的假设正确 答案　C 解析　①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2的假命题应为p+q>2,故①的假设正确;②|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于12的否定为|f(1)|与|f(2)|中都小于12,故②的假设错误,故选C. 10