2023
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练六解
三角形
能力升级练(六) 解三角形
一、选择题
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
解析在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,
由余弦定理,得cos∠BAC=b2+c2-a22bc=9+25-4930=-12,
由A∈(0,π),得A=2π3,
即∠BAC=23π.
答案C
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,则b=( )
A.2 B.3
C.2 D.3
解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×23,解得b=3,或b=-13(舍去).
答案D
3.(2023山东潍坊一模)若角α的终边过点A(2,1),则sin32π-α=( )
A.-255 B.-55
C.55 D.255
解析由三角函数定义,cosα=25=255,
则sin32π-α=-cosα=-255.
答案A
4.若tan θ=-13,则cos 2θ=( )
A.-45 B.-15
C.15 D.45
解析cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=45.
答案D
5.(2023广东深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为( )
A.4003 m B.40033 m
C.20033 m D.2003 m
解析如图所示.
在Rt△ACD中可得CD=20033=BE,
在△ABE中,由正弦定理得ABsin30°=BEsin60°,
则AB=2003,
所以DE=BC=200-2003=4003(m).
答案A
6.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析因为cos2B2=a+c2c,
所以2cos2B2-1=a+cc-1,
所以cosB=ac,
所以a2+c2-b22ac=ac,
所以c2=a2+b2.
所以△ABC为直角三角形.
答案B
7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为( )
A.33 B.233
C.36 D.433
解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,
易知sinBsinC≠0,
∴sinA=12.
又b2+c2-a2=8,
∴cosA=b2+c2-a22bc=4bc,
则cosA>0.
∴cosA=32,
即4bc=32,则bc=833.
∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×833×12=233.
答案B
8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )
A.102海里 B.103海里
C.203海里 D.202海里
解析如图所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,
根据正弦定理,得BCsin30°=ABsin45°,
解得BC=102(海里).
答案A
9.(2023山东济宁模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π3,3sin2CcosC=2sin Asin B,且b=6,则c=( )
A.2 B.3
C.4 D.6
解析在△ABC中,A=π3,b=6,
∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,①
又3sin2CcosC=2sinAsinB,
∴3c2cosC=2ab,
即cosC=3c22ab=a2+b2-c22ab,
∴a2+36=4c2,②
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).
∴c=4.
答案C
二、填空题
10.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为 米.
解析连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=507.
答案507
11.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=22,cos A=34,sin B=2sin C,则△ABC的面积是 .
解析由sinB=2sinC,cosA=34,A为△ABC一内角,
可得b=2c,sinA=1-cos2A=74,
∴由a2=b2+c2-2bccosA,
可得8=4c2+c2-3c2,
解得c=2,则b=4.
∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×74=7.
答案7
12.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB= .
解析在△ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-252×7×3=1114,则sinC=5314.
在△ABC中,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB,
则AB=ACsinCsinB=7×531422=562.
答案562
13.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若sinAsinB=5c2b,sin B=74,S△ABC=574,则b的值为 .
解析由sinAsinB=5c2b及正弦定理,得ab=5c2b,
即a=52c,①
由S△ABC=12acsinB=574,sinB=74,得12ac=5,②
联立①②,得a=5,c=2.
由sinB=74且B为锐角,得cosB=34,由余弦定理,得b2=25+4-2×5×2×34=14,b=14.
答案14
三、解答题
14.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为多少米?(取2≈1.4,3≈1.7)
解如图,作CD垂直于线段AB的延长线于点D,
由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,
所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).
又在△ABC中,BCsinA=ABsin∠ACB,
所以BC=2100012×sin15°=10500(6-2).
因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC
=10500(6-2)×22=10500(3-1)
≈7350(m).
故山顶的海拔高度为10000-7350=2650(m).
15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.
(1)若B=π6,求A,C;
(2)若C=2π3,c=14,求S△ABC.
解(1)由已知B=π6,a2-ab-2b2=0结合正弦定理,得sin2A-sinAsinπ6-2sin2π6=0,化简整理,得2sin2A-sinA-1=0,
于是sinA=1或sinA=-12(舍).
因为0<A<π,所以A=π2,
又A+B+C=π,所以C=π-π2-π6=π3.
(2)由题意及余弦定理可知a2+b2-2abcos2π3=196,即a2+b2+ab=196,①
由a2-ab-2b2=0,得(a+b)(a-2b)=0,
因为a+b>0,
所以a-2b=0,即a=2b,②
联立①②解得b=27,a=47.
所以S△ABC=12absinC=143.
10