2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案数列的应用高中数学.docx

3.7数列的应用 ——解应用题的关键是，抽象出数学问题，找出数量关系,建立起数学模型，要加强化归转化意识.培养 一、明确复习目标 理解等差、等比数列的概念、公式，并能用这些知识解决一些问题。 二．建构知识网络 1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决. 2.理解“复利〞的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同. 3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差〔或公比〕，其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题. 三、双基题目练练手 1.某林场年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，那么x的值是 A. B. C. D. 2.某纯洁水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，(lg2=0.301),那么至少需过滤的次数为 A.5 B.10 C.13 D.14 3.某工厂的产值月平均增长率为P，那么年平均增长率为： 〔 〕 A、12P B、(1+P)11－1 C、(1+P)12－1 D、 4.an=logn+1〔n+2〕〔n∈Nx〕，观察以下运算a1·a2=log23·log34=·=2， a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log67·log78=··…··=3. …… 定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k〔k∈Nx〕叫做企盼数.试确定当a1·a2·a3·…·ak=2023时，企盼数k=______________. 答案：22023－2 5.某企业在年度之初借款A元，从该年度末开始，每年度末归还一定的金额，恰在n年间还清，年利率为r，试问每次需支付的金额是 元？ 6.5只猴子分一堆苹果，第一只猴子把苹果分成5堆，还多1个，把多的1个扔掉，取走其中的一堆，第二只猴子把剩下的苹果分成五堆，也多1个，把多的一个扔掉，也取走一堆，以后每只猴子都如此办理，那么最后一只猴子所得苹果的最小值是 。 简答:1-3.CDC; 1.一次砍伐后木材的存量为S〔1+25%〕－x； 二次砍伐后木材存量为［S〔1+25%〕－x］〔1+25%〕－x. 由题意知〔〕2S－x－x=S〔1+50%〕，解得x=. 2.由题意列式〔1－20%〕n＜5%，两边取对数得n＞≈13.4.故n≥14. 4.由a1·a2·…·ak=···…·==log2〔k+2〕=2023，解之得k=22023－2. 5.〞双向储畜法〞设每年还x元,第n年底还清,那么所还款到第n年底的本利和为 贷款A元到第n年底本利和为A(1+r)n. 由 6.设第n只猴得an只苹果,那么 ,是整数那么(a1+1)=54时, 四、经典例题做一做 【例1】6.从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，假设年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月2日不再存款，而是将所有存款及利息全部取回，求可取回的钱的总数〔万元〕. 解：存款从后向前考虑 〔1+p〕+〔1+p〕2+…+〔1+p〕5 = =［〔1+p〕7－〔1+p〕］. 答：［〔1+p〕7－〔1+p〕］万元。 提炼方法：数列模型——等比数列的和，实质是复利、零存整取取问题。从最后一年存款向前算。 【例2】由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署方案从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到到达运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天到达运送食品的最大量. 剖析：此题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题. 解：设在第n天到达运送食品的最大量. 那么前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列. an=1000+〔n－1〕·100=100n+900. 其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列. 依题意，得 1000n+×100+〔100n+800〕〔15－n〕+×〔－100〕=21300〔1≤n≤15〕. 整理化简得n2－31n+198=0. 解得n=9或22〔不合题意，舍去〕. 答：在第9天到达运送食品的最大量. 温馨提示:对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题. 【例3】杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元. 请你根据以上数据，解决以下问题： 〔1〕引进该设备多少年后，开始盈利？ 〔2〕引进该设备假设干年后，有两种处理方案： 第一种：年平均盈利到达最大值时，以26万元的价格卖出； 第二种：盈利总额到达最大值时，以8万元的价格卖出. 问哪种方案较为合算？并说明理由. 解：〔1〕设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，那么y=50n－〔12n+×4〕－98=－2n2+40n－98，由y＞0，得10－＜n＜10+. ∵n∈Nx，∴3≤n≤17， 即3年后开始盈利. 〔2〕方案一：年平均盈利为，=－2n－+40≤－2+40=12， 当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元. 方案二：盈利总额y=－2〔n－10〕2+102，n=10时，y取最大值102， 即经过10年盈利总额最大， 共计盈利102+8=110万元. 两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算. 【例4】 2023年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2023年开始，方案每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化. 〔1〕设该县的总面积为1，2023年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1； 〔2〕求数列{an}的第n+1项an+1； 〔3〕至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.〔lg2=0.3010，lg3=0.4771〕 剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 解：〔1〕设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1. 于是a1+b1=1，an+bn=1. 依题意，an+1是由两局部组成，一局部是原有的绿化面积an减去被非绿化局部an后剩余的面积an，另一局部是新绿化的面积bn，于是 an+1=an+bn=an+〔1－an〕 =an+. 〔2〕an+1=an+，an+1－=〔an－〕. 数列{an－}是公比为，首项a1－=－=－的等比数列. ∴an+1=+〔－〕〔〕n. 〔3〕an+1＞60%，+〔－〕〔〕n＞，〔〕n＜，n〔lg9－1〕＜－lg2，n＞≈6.5720. 至少需要7年，绿化率才能超过60%. 【研讨.欣赏】 〔2023年春季北京，20〕下表给出一个“等差数阵〞： 4 7 〔 〕 〔 〕 〔 〕 … a1j … 7 12 〔 〕 〔 〕 〔 〕 … a2j … 〔 〕 〔 〕 〔 〕 〔 〕 〔 〕 … a3j … 〔 〕 〔 〕 〔 〕 〔 〕 〔 〕 … a4j … … … … … … … … … ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij … … … … … … … … … 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数. 〔1〕写出a45的值； 〔2〕写出aij的计算公式； 〔3〕证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 〔1〕解：a45=49. 〔2〕解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3〔j－1〕， 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5〔j－1〕， …… 第i行是首项为4+3〔i－1〕，公差为2i+1的等差数列， 因此aij=4+3〔i－1〕+〔2i+1〕〔j－1〕=2ij+i+j=i〔2j+1〕+j. 〔3〕证明：必要性：假设N在该等差数阵中，那么存在正整数i、j使得N=i〔2j+1〕+j， 从而2N+1=2i〔2j+1〕+2j+1=〔2i+1〕〔2j+1〕， 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 充分性：假设2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，那么它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=〔2k+1〕〔2l+1〕， 从而N=k〔2l+1〕+l=akl， 可见N在该等差数阵中. 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 五．提炼总结以为师 1.数列的应用题常见类型：产量增减、价格升降、求利率、增长率、细胞繁殖分期付款等，一般是等差、等比数列问题,解题关键是建立数列的模型;. 2.将实际问题转化为数列问题时应注意： 〔1〕分清是等差,还是等比数列问题; 〔2〕分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n. 〔3〕要要善于发现an与an-1的关系。 同步练习 3.7数列的应用 【选择题】 1.从2023年到2023年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元一年定期储蓄，假设年利率q保持不变，且每年到期的存款利息均自动转为新的一年定期，到2007年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息作用全部取回，那么取回的金额是：( 〕 A、m(1+q)4元 B、元 C、m(1+q)5元 D、元 2.某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，那么这两年平均增长率x满足 ( ) A、 B、 C、 D、 3.某工厂去年产值为a，方案今后五年内每年比上一年产值增长10%，从今年起到第五年，这个工厂的总产值是 〔 〕 A、1.14a B、1.1(1.15－1)a C、10(1.15－1)a D、11(1.15－1)a 4.从工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最正确方案是使运输车运行( ) A.11700m B、14700m C、14500m D、14000m 5.假设一个球从某个高度掉到地上，再弹起的高度为前高度的，那么当一个球从6米高度落下，并让其自由弹跳直到停下，球总共的运动路程为 米。 6.如图，它满足：〔1〕第n行首尾两数均为n； 〔2〕表中的递推关系类似杨辉三角，那么第n行 〔n≥2〕第2个数是_______________. 简答.提示：1-4.DBDD; 4.第一次运运两根,所走路程a1=1100,以后每次比上次多走300米,共7次,路程总和S7=14000m; 5.5h. 设原高度为h,从第一次落地到第二次落地球走路程再到下次着地所